Frage z. Basis v. Vektorräumen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Kurz ne Verständnisfrage: die Basis eines Vektorraums sind, anschaulich gesprochen, die Achsen dieses Vektorraums? D. h. wenn die Basis aus [mm] \vektor{2 \\ 4} [/mm] und [mm] \vektor{3 \\ 5} [/mm] bestünde, dann würden alle anderen Vektoren von diesen beiden Vektoren aus gesehen eingezeichnet?
D. h. wenn ich eine andere Basis nehme, dann lege ich quasi ein neues Koordinatensystem zugrunde?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:42 Mo 16.02.2015 | | Autor: | huddel |
Richtig. Die Basis sagt dir, wie deine Vektoren, die du betrachtest, zusammen gebaut sind. Deswegen ist es auch so wichtig, dass, wenn du von explizieten Vektoren (oder gar Matrizen) aus einem Vektorraum sprichst (z.B. $ [mm] \vektor{2 \\ 4} [/mm] $ und $ [mm] \vektor{3 \\ 5} [/mm] $), sagst bezüglich welcher Basis diese angegeben werden (z.B. der Standardbasis [mm] $\lbrace \vektor{1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1} \rbrace$). [/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:57 Mo 16.02.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo!
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> Kurz ne Verständnisfrage: die Basis eines Vektorraums
> sind, anschaulich gesprochen, die Achsen dieses
> Vektorraums? D. h. wenn die Basis aus [mm]\vektor{2 \\ 4}[/mm] und
> [mm]\vektor{3 \\ 5}[/mm] bestünde, dann würden alle anderen
> Vektoren von diesen beiden Vektoren aus gesehen
> eingezeichnet?
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> D. h. wenn ich eine andere Basis nehme, dann lege ich quasi
> ein neues Koordinatensystem zugrunde?
das ist alles sehr *flapsig* gesagt. In welchem Rahmen bewegt sich
Deine Frage denn? Wenn es Dir im Wesentlichen um den [mm] $\IR^2$ [/mm] oder [mm] $\IR^3$
[/mm]
geht, könnten wir es ein wenig veranschaulichen, aber vorweg noch ein
paar Worte dazu:
Die Vektoren einer Basis müssen linear unabhängig sein. Allg. sind Basen
des [mm] $\IR^n$ [/mm] - betrachtet als *üblicher Anschauungsraum* (insbesondere als
VR über [mm] $\IR$) [/mm] - *gleich groß*, eine jede Basis des [mm] $\IR^n$ [/mm] hat genau [mm] $n\,$
[/mm]
Elemente (immer $n [mm] \in \IN$).
[/mm]
Wenn der [mm] $\IR^n$ [/mm] vorliegt: Hast Du nun eine Basis des [mm] $\IR^n$ [/mm] gefunden, so
gibt es für jeden Vektor des [mm] $\IR^n$ [/mm] genau eine Möglichkeit, diesen Vektor als
Linearkombination der [mm] $n\,$ [/mm] Basisvektoren zu schreiben, und umgekehrt erzeugen
verschiedene Linearkombinationen auch verschiedene Vektoren . Daher
kann man diese Koeffizienten in ein (eindeutig bestimmtes) "Koordinatentupel
der Länge [mm] $n\,$" [/mm] zusammenpacken, und das Ding nennt man dann den
Koordinatenvektor (des betrachteten Vektors aus [mm] $\IR^n$). [/mm] Dabei ist
wichtig, dass man in dem Tupel weiß, welche Stelle sich auf welchen Basisvektor
bezieht.
Bsp.:
[mm] $\IR^2$ [/mm] hat als mögliche Basis [mm] $B_1=((1,0)^T;(0,1)^T)$ [/mm]
Schreiben wir
[mm] $(a,b)_{B_1}$
[/mm]
für [mm] $a*\vektor{1\\0}+b*\vektor{0\\1},$
[/mm]
so gehört zu jedem Element [mm] $(r,s)^T=\vektor{r\\s}$ [/mm] der Koordinatenvektor [mm] $(r,s)_{B_1}\,.$
[/mm]
(Meist schreibt man Koordinatenvektoren als Spaltenvektoren, entgegen
dem, was ich hier tue! Für Deine Frage ist meine Methode hier didaktisch
vielleicht aber besser, denn bei Zeilenvektoren weißt Du dann immer, dass
es sich um Koordinatenvektoren handelt, bei Spaltenvektoren sind es die
[mm] $\IR^n$-Elemente!
[/mm]
Würe ich z.B., was man auch gerne tut, die Basis nicht an den Koordinatenvektor
indizieren, so würde ich im Falle der Basis [mm] $B_1$ [/mm] hier davon reden, dass der zu
[mm] $(r,s)^T \in \IR^2$ [/mm] zugehörige Koordinatenvektor [mm] $(r,s)^T$ [/mm] lautet. In meiner Notation
hier sage ich aber, dass der zu [mm] $(r,s)^T \in \IR^2$ [/mm] zugehörige Koordinatenvektor eben
$(r,s)$ ist; damit wird das Ganze hier besser unterscheidbar. Später wirst Du
aber sicher mal lernen, warum es dennoch günstiger sein kann, die Koordinatenvektoren
als Spaltenvektoren zu schreiben!)
Bzgl. der Basis [mm] $B_2=((0,1)^T,(1,0)^T)$ [/mm] mit der Konvention
[mm] $(a,b)_{B_2}=a*(0,1)^T+b*(1,0)^T$
[/mm]
ist der zu [mm] $\vektor{r\\s} \in \IR^2$ [/mm] zugehörige Koordinatenvektor aber
[mm] $(s,r)_{B_2}\,.$
[/mm]
Betrachten wir
[mm] $B_3:=\{(0,1)^T, (2,0)^T\},$
[/mm]
so korrespondiert [mm] $(r,s)^T$ [/mm] mit
[mm] $(s,\tfrac{r}{2})_{B_3}\,.$
[/mm]
Hier ist das Ganze bisher relativ übersichtlich geblieben, um zu zeigen, dass
das nicht immer ganz so einfach bleiben muss:
Wie sähe das Ganze mit
[mm] $B_4=\{(1,2)^T,\;(3,4)^T\}$ [/mm]
aus?
Außerdem: Macht es denn Sinn, von Koordinaten bzgl.
[mm] $B_5=\{(3,\pi)^T,(6,2\pi)^T\}$
[/mm]
zu reden? Ist [mm] $B_5$ [/mm] eine Basis des [mm] $\IR^2$?
[/mm]
Gruß,
Marcel
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