Frage bzgl. harmonische Fkt. < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei u: [mm] \IR^2 \to \IR [/mm] eine harmonische Funktion, d.h. eine zweimal stetig diffbare Fkt. mit [mm] \bruch{\partial^2u}{\partial x^2} [/mm] + [mm] \bruch{\partial^2u}{\partial y^2}=0.
[/mm]
a) Zeige, dass es eine Fkt. v: [mm] \IR^2 \to \IR [/mm] gibt, so dass u + iv holomorph ist.
b) Zeige: v aus Aufgabenteil a) ist harmonisch.
c) Wie sehen alle anderen Fktn. w aus, für die u + iw holomorph ist?
d) Finde ein v für das Beispiel u(x,y)=x*y. |
Hallo zuerst einmal an alle!
Habe Probleme beim Lösen der obigen Aufgabe.
Habe mir jedoch folgendes gedacht:
zu a)
Es gibt doch folg. Satz aus der Analysis, den man doch hier verwenden kann:
Seinen g,h: [mm] \IR^2 \to \IR [/mm] stetig diffbar.
Es gibt genau dann ein f: [mm] \IR^2 \to \IR [/mm] mit [mm] (\bruch{\partial f}{\partial x},\bruch{\partial f}{\partial y})=(g,h), [/mm] wenn rot(g,h):= [mm] \bruch{\partial h}{\partial x}- \bruch{\partial g}{\partial y}=0.
[/mm]
zu c)
Hier kann man doch folg. benutzen:
Falls f eine reellwertige Funktion ist, dass ist f konstant.
Kann mir hir jemand weiterhelfen.
Bin nicht gerade der "Beweisexperte".
Wäre Euch also sehr dankbar dafür!
VlG
Mario
|
|
| |
|
Hallo Mario,
> a) Zeige, dass es eine Fkt. v: [mm]\IR^2 \to \IR[/mm] gibt, so dass
> u + iv holomorph ist.
>
> b) Zeige: v aus Aufgabenteil a) ist harmonisch.
>
> c) Wie sehen alle anderen Fktn. w aus, für die u + iw
> holomorph ist?
>
> d) Finde ein v für das Beispiel u(x,y)=x*y.
> Habe mir jedoch folgendes gedacht:
> zu a)
> Es gibt doch folg. Satz aus der Analysis, den man doch
> hier verwenden kann:
>
> Seinen g,h: [mm]\IR^2 \to \IR[/mm] stetig diffbar.
> Es gibt genau dann ein f: [mm]\IR^2 \to \IR[/mm] mit
> [mm](\bruch{\partial f}{\partial x},\bruch{\partial f}{\partial y})=(g,h),[/mm]
> wenn rot(g,h):= [mm]\bruch{\partial h}{\partial x}- \bruch{\partial g}{\partial y}=0.[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") So einen Satz gibt es, ja. Das ist ein Integrabilitätskriterium, welches für sternförmige gebiete gilt, wenn ich mich recht erinnere. ist hier also anwendbar.
> zu c)
> Hier kann man doch folg. benutzen:
> Falls f eine reellwertige Funktion ist, dass ist f
> konstant.
hmm, das stimmt nicht ganz. ich würde so argumentieren: seien [mm] $w_1,w_2$ [/mm] reelle funktionen, so dass
[mm] $f_k=u+i\cdot w_k$ [/mm] holomorph ist.
Daraus folgt, dass [mm] $f_1-f_2=i\cdot(w_1-w_2)$ [/mm] holomorph ist. Jetzt kannst du fast so argumentieren, wie du es wolltest.
VG
Matthias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:57 Do 11.05.2006 | | Autor: | adonis1981 |
Vielen Dank für Deine nette Hilfe!
Hab die Aufgabe hinbekommen!
Vielen Dank nochmal!
Mir fehlt einfach manchmal nur der "gewisse Funke"!
Also nochmal viel Dank!
VlG
Mario
|
|
|
|
