Frage: Unterräume auf Deutsch < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:17 Mi 24.11.2004 | | Autor: | DeusRa |
Hallo,
ich habe folgende Übungsaufgabe bekommen, jedoch habe ich Vorab keine Ahnung was so richtig mit Unterraum gemeint ist.........(ist das ein Raum in einem Raum.....also sowas wie Teilmengen ???). Bitte erklärt mir das auf Deutsch wenn´s geht.
Aufgabe:
Es seinen U1, U2 Unterräume eines K-Vektorraumes V
Zeigen Sie:
U1 $ [mm] \cup [/mm] $ U2 ist ein Unterraum von V $ [mm] \gdw [/mm] $ U1 $ [mm] \subset [/mm] $ U2 oder U2 $ [mm] \subset [/mm] $ U1.
Das fällt mir gerade ein........eine kleine Erläuterung was ein K-Vektorraum ist wäre auch nicht schlecht.
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Hallo.
Ja, ein Unterraum ist nicht nur sowas wie eine Teilmenge, sondern:
ein (linearer) Unterraum (das "linearer" läßt man aus Bequemlichkeit manchmal weg) ist eine (nicht leere) Teilmenge eines Vektorraums, die zusätzlich dazu die Eigenschaft besitzt, daß jede Linearkombination, die man aus den Elementen des Unterraums bilden kann, wieder in dem Unterraum drin liegt.
Das prüft man am besten in 2 Schritten nach, nämlich:
U ist genau dann linearer Unterraum, wenn U nicht leer ist und
1. k*a (mit k aus dem Körper und a ein Vektor aus U) wieder in U liegt und
2. a+b (mit a und b Vektoren aus U) wieder in U liegt.
Weils so trocken war, vielleicht ein Beispiel:
Nehmen wir die normale zweidimensionale Ebene als Vektorraum.
Wenn wir jetzt eine Gerade durch den Ursprung nehmen, z.B. y=3x, dann ist das ein linearer Unterraum, denn:
Jeder Punkt hat die Form (x,3x).
Nehmen wir jetzt einen Punkt (x,3x) und nehmen diesen beispielsweise mit 5 mal: 5(x,3x)=(5x,15x). Das Ergebnis ist dennoch wieder in U, denn in der 2. Komponente steht immer noch das 3fache der ersten Komponente.
Bilden wir die Summe der Punkte (x,3x) und (y,3y), so ergibt das (x+y,3x+xy)=(x+y,3(x+y)) und liegt damit wieder in U.
Damit ist die Gerade [mm]U=\{ (x,3x) | x \in \IR \}[/mm] ein linearer Unterraum von [mm]V=\IR^2[/mm].
So, ich hoffe, ich konnte dir einigermaßen verständlich machen, was ein Unterraum ist, andernfalls frag eben nochmal nach...
Gruß,
Christian
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