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| Aufgabe | Auf dem Raum der von [-1,1] stetigen Funktionen ist folgendes inneres Produkt gegeben: <f,g> = [mm] \integral_{-1}^{1} f(x)g(x)x^2\ [/mm] dx
Betrachten Sie den von {1,x} aufgespannten Unterraum U. Entscheiden Sie ob {1,x} - Orthonormalbasis von U ist, Orthogonalbasis von U ist, nicht orthogonal sind, nicht linear unabhängig sind.
b)Finden Sie Zahlen a,b,c [mm] \in\IR, [/mm] die nicht alle Null sind, sodass die Funktion:
g(x) = [mm] a+bx+cx^3 [/mm] orthogonal auf den von {1,x} aufgespannten Unterraum U steht.
c) Finden sie Zahlen [mm] \phi [/mm] , [mm] \varphi \in \IR [/mm] sodass folgender Ausdruck minimal wird:
[mm] \integral_{-1}^{1} (\phi [/mm] + [mm] \varphi [/mm] *x [mm] -x^2)^2 [/mm] * [mm] x^2 [/mm] dx |
Hallo!
Da ich meine letzten VO's verpasst habe steh ich recht stark an beim Thema Fourierreihen.
ad a) Sie sind nicht linear unabhängig (offensichtlich) und bilden eine Orthogonalbasis, aber keine Orthonormalbasis von U.
Begründung: <1,1> und <x,x> ist ungleich 1, aber <1,x> = 0.
Bei b und c hab ich allerdings keine Ahnung.
Besten Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:13 Sa 02.11.2013 | | Autor: | hippias |
> Auf dem Raum der von [-1,1] stetigen Funktionen ist
> folgendes inneres Produkt gegeben: <f,g> =
> [mm]\integral_{-1}^{1} f(x)g(x)x^2\[/mm] dx
> Betrachten Sie den von {1,x} aufgespannten Unterraum U.
> Entscheiden Sie ob {1,x} - Orthonormalbasis von U ist,
> Orthogonalbasis von U ist, nicht orthogonal sind, nicht
> linear unabhängig sind.
>
> b)Finden Sie Zahlen a,b,c [mm]\in\IR,[/mm] die nicht alle Null sind,
> sodass die Funktion:
> g(x) = [mm]a+bx+cx^3[/mm] orthogonal auf den von {1,x}
> aufgespannten Unterraum U steht.
>
> c) Finden sie Zahlen [mm]\phi[/mm] , [mm]\varphi \in \IR[/mm] sodass
> folgender Ausdruck minimal wird:
> [mm]\integral_{-1}^{1} (\phi[/mm] + [mm]\varphi[/mm] *x [mm]-x^2)^2[/mm] * [mm]x^2[/mm] dx
> Hallo!
> Da ich meine letzten VO's verpasst habe steh ich recht
> stark an beim Thema Fourierreihen.
>
> ad a) Sie sind nicht linear unabhängig (offensichtlich)
Dies Funktionen sind linear unabhaengig.
> und bilden eine Orthogonalbasis, aber keine
> Orthonormalbasis von U.
> Begründung: <1,1> und <x,x> ist ungleich 1, aber <1,x> =
> 0.
>
> Bei b und c hab ich allerdings keine Ahnung.
Fuer b. versuche den Ansatz $0= [mm] +b+c$ [/mm] und analog fuer $0= [mm]
Bei c. koenntest Du versuchen aehnlich vorzugehen: werte das Integral aus, die Funktion besitzt ja eine einfache Stammfunktion, und miminiere bezueglich [mm] $\phi$ [/mm] und [mm] $\psi$. [/mm] Anschaulich lautet die Fragestellung: welches [mm] $u\in [/mm] U$ hat von [mm] $x^{2}$ [/mm] den kleinsten Abstand.
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> Besten Dank!
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Meinte natürlich nicht linear abhängig, kleiner verschreiber.
Ok so weit bin ich dann bei b gekommen:
$0= [mm] +b+c$ [/mm]
=> [mm] a*\integral_{-1}^{1}x^2 [/mm] dx + [mm] b*\integral_{-1}^{1} x^3 [/mm] dx + [mm] c*\integral_{-1}^{1} x^5 [/mm] dx = 0
Weil ungerade Funktionen über einem symmetrischen Intervall bei Integration 0 sind krieg ich nur für a was raus:
a* [mm] \bruch{2}{3} [/mm] = 0
=> a = 0.
Beim zweiten krieg ich raus:
b* [mm] \integral_{-1}^{1}x^4 [/mm] dx + c* [mm] \integral_{-1}^{1} x^6 [/mm] = 0
Und noch ein edit:
Ok ich krieg dann für b/c raus: 14b+10c muss 0 sein.
D.h. ich nehme b = 10 und c = -14.
BSP c):
Integral ist ausgerechnet:
[mm] \bruch{2}{3}\phi^2 [/mm] - [mm] \bruch{4}{5} \phi [/mm] + [mm] \bruch{2}{5} \varphi^2 [/mm] + [mm] \bruch{2}{7} [/mm] = 0.
Da [mm] \varphi^2 [/mm] immer [mm] \ge [/mm] 0 ist sollte [mm] \varphi [/mm] 0 sein für ein Minimum.
Während [mm] \phi [/mm] sein Minimum bei 0.6 oder [mm] \bruch{3}{5} [/mm] hätte.
LSG [mm] \integral_{-1}^{1}(\bruch{3}{5} [/mm] - [mm] x^2)^2*x^2 [/mm] dx wird minimal.
Korrekt?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Mo 04.11.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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