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(Frage) überfällig  | | Datum: | 00:34 Mi 07.07.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Habe ne Prüfung (ohne MuLö) vom Internet durchgerechnet, und jetzt gibt es da eine Aufgabe die ich nicht schaffe. Wäre extrem dankbar wenn jemand mir nen Tipp geben könnte, den Rest kann ich dann bestimmt alleine:
Gegeben sei die für a > 0 periodische Funktion
[mm] f(x)=\begin{cases} x, & \mbox{für } 0 < x < \bruch{a}{2} \mbox{ } \\ a-x, & \mbox{für }\bruch{a}{2} < x < a \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
f(x + a) = f(x)
Ich habe für die Fourierreihe erhalten(das soll mir keiner nachrechnen...):
[mm] b_{n} [/mm] = 0
[mm] a_{0} [/mm] = [mm] \bruch{a}{4}
[/mm]
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{4*(cos(\pi*n) - 1)}{a*n^{2}*w^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{4*((-1)^{n} - 1)}{a*n^{2}*w^{2}}
[/mm]
bzw.
f(x) = [mm] a_{0} [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{4*((-1)^{n} - 1)}{a*n^{2}*w^{2}}*cos(n*w*t)
[/mm]
mit a*w = [mm] 2*\pi, [/mm] also a ist quasi die Periodendauer T
(Habe es von Hand und mit dem Taschenrechner gemacht. Was mich irritiert ist, dass ich im Bruch ein [mm] w^{2} [/mm] habe, dass sich nicht aus dem Koeffizient [mm] a_{n} [/mm] Eliminieren lässt, merkwürdig. Wäre es im Nenner w und nicht [mm] w^{2} [/mm] könnte ich ja a*w = [mm] 2*\pi [/mm] dafür schreiben.)
Aufjedenfall nun die Fragestellung:
Zeigen sie mit Hilfe der Fourierreihe aus Teil a.), dass
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{(2*n - 1)^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{(\pi)^{2}}{8}
[/mm]
Hinweis: Setzen sie a = 1 und betrachten sie die Fourierreihe in einem geeigneten Punkt x.
Gut a = 1 setzen ist keine Kunst. Ich weiss grundsätzlich nicht wie ich da vorgehen soll, habe noch nie so eine Aufgabe gesehen, scheint aber das man mit Fourierreihen gut solche Dinge beweisen kann...
Also ich habe mir zwei Wege überlegt:
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1.) f(x) = [mm] \bruch{(\pi)^{2}}{8} [/mm] setzen. Da kommt schon das erste Problem: soll ich " f(x) = x" benutzen, oder "f(x) = a - x"?
Also x = [mm] \bruch{(\pi)^{2}}{8}
[/mm]
oder a - x = [mm] \bruch{(\pi)^{2}}{8} [/mm] ---> x = 1 - [mm] \bruch{(\pi)^{2}}{8}, [/mm] für a = 1
und dann einfach x in die Fourierreihe einsetzen? Und dann die Reihe irgendwie umformen, das es aussieht wie die Reihe für die man zeigen soll, dass sie mit [mm] \bruch{(\pi)^{2}}{8} [/mm] übereinstimmt?
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2.) Ich habe mir gedacht, da ja f(x) = a - x ist, das ähnlich aussieht wie der Nenner (2n-1), das ich f(x) so umformen muss:
f(x) = [mm] x*(\bruch{a}{x} [/mm] - 1) ---> [mm] \bruch{a}{x} [/mm] = 2*n ---> x = [mm] \bruch{a}{2*n}
[/mm]
Ist das eine Gute Wahl für x? Wenn ich das so mache bekomme ich zumindest, wenn ich x = [mm] \bruch{a}{2*n} [/mm] in cos(w*n*x) einsetze, was gut aussehendes:
cos(w*n*x) = [mm] cos(w*n*\bruch{a}{2*n}) [/mm] = [mm] cos(\pi) [/mm] = -1
Trotzdem, ich brings irgendwie nicht zusammen.
Gruss Qsxqsx
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:35 Mi 07.07.2010 | | Autor: | meili |
Hallo,
vielleicht reicht Dir das?
Beim Vergleich der beiden Reihen fällt auf:
Die Fouierkoeffizienten [mm]a_{k}= 0[/mm] für k gerade, ausser k = 0 .
Die zu bestimmenden Reihe läuft auch nur über ungerade k.
Die Fourierreihe so umformen, dass sie der zu bestimmenden Reihe gleicht.
Dazu auch [mm]w[/mm] durch [mm]\bruch{2 \pi}{a}[/mm] ersetzen, da [mm]a > 0[/mm], erlaubt.
Gruß meili
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:25 Mi 07.07.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Danke.
Ich weiss aber leider immer noch nicht wie ich die umformen kann, bzw. wie x zu wählen ist? Das sind meine beiden Hauptprobleme.
Wenn ich w mit [mm] 2*\pi [/mm] / a ersetze komme ich auf:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{-4*2}{a*n^{2}*\bruch{(2*\pi)^{2}}{a^{2}}}*cos(n*\bruch{2*\pi}{a}*x)
[/mm]
=
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{-2}{n^{2}*\pi^{2}}*cos(n*\bruch{2*\pi}{a}*x)
[/mm]
, wobei ich a = 1 gesetzt habe.
Ich weiss einfach nicht wie ich das umformen kann...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:25 Mi 07.07.2010 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Hallo,
>
> Danke.
>
> Ich weiss aber leider immer noch nicht wie ich die umformen
> kann, bzw. wie x zu wählen ist? Das sind meine beiden
> Hauptprobleme.
>
> Wenn ich w mit [mm]2*\pi[/mm] / a ersetze komme ich auf:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{-4*2}{a*n^{2}*\bruch{(2*\pi)^{2}}{a^{2}}}*cos(n*\bruch{2*\pi}{a}*x)[/mm]
>
> =
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{-2}{n^{2}*\pi^{2}}*cos(n*\bruch{2*\pi}{a}*x)[/mm]
ja, das sieht doch schon gut aus
Ist aber nicht ganz korrekt, da hier n nur ungerade sein darf.
Das berücksichtigt die Summe, so wie sie da steht nicht. Es wird über alle n summiert.
>
> , wobei ich a = 1 gesetzt habe.
>
> Ich weiss einfach nicht wie ich das umformen kann...
>
>
Ich habe nachgesehen und bin der Meinung der Summationsindex n bei der zu bestimmenden Reihe müsste ab 1 und nicht ab 0 laufen.
Konstanten kannst Du aus der Fourierreihe ausklammern
Dann x so wählen, dass die gleichen Summanden, da stehen und nachprüfen was raus kommt
Gruß meili
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:51 Mi 07.07.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hi,
Ja da steht wirklich eine 1! Habs jetzt in meinem ersten Text verbessert.
Also ich werd mal umformungen machen. Sonst frag ich nochmal; )
Danke!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:08 Mi 07.07.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Ich raffs nicht sorry...
Also ich habe jetzt nochmals nachgerechnet und für die Fourierreihe wieder das gleiche Bekommen.
Nämlich:
[mm] \bruch{-2}{\pi^{2}}*\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^{2}}*cos(n*\bruch{2*\pi}{a}*x) [/mm]
für n = 2*k + 1
und sonst 0 für n = 2*k
Jetzt muss ich zeigen daraus folgt
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{4*(n^{2} - n + \bruch{1}{4})} [/mm] = [mm] \bruch{\pi^{2}}{8}
[/mm]
bzw.
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{(n^{2} - n + \bruch{1}{4})} [/mm] = [mm] \bruch{\pi^{2}}{2}
[/mm]
Ich weiss nicht wie ich aus dem [mm] \bruch{1}{n^{2}} [/mm] ein [mm] \bruch{1}{(n^{2} - n + \bruch{1}{4})} [/mm] zaubern kann??????
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:17 Mi 07.07.2010 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Ich raffs nicht sorry...
>
> Also ich habe jetzt nochmals nachgerechnet und für die
> Fourierreihe wieder das gleiche Bekommen.
>
> Nämlich:
>
> [mm]\bruch{-2}{\pi^{2}}*\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^{2}}*cos(n*\bruch{2*\pi}{a}*x)[/mm]
>
> für n = 2*k + 1
> und sonst 0 für n = 2*k
das Problem ist die Darstellung
[mm]\bruch{-2}{\pi^{2}}*\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^{2}}*cos(n*\bruch{2*\pi}{a}*x)[/mm]
summiert zu viel. Es nimmt alle [mm] n \in \IN [/mm], nicht nur die ungeraden, wie es sein müsste, also darf im Summanden nicht n stehn, sondern? ( siehe auch weiter unten)
>
> Jetzt muss ich zeigen daraus folgt
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{4*(n^{2} - n + \bruch{1}{4})}[/mm]
> = [mm]\bruch{\pi^{2}}{8}[/mm]
>
> bzw.
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{(n^{2} - n + \bruch{1}{4})}[/mm]
> = [mm]\bruch{\pi^{2}}{2}[/mm]
>
> Ich weiss nicht wie ich aus dem [mm]\bruch{1}{n^{2}}[/mm] ein
> [mm]\bruch{1}{(n^{2} - n + \bruch{1}{4})}[/mm] zaubern kann??????
lass doch [mm] 2*n -1[/mm] stehen
was gibt das, wenn man [mm] n = 1, 2, 3, ....[/mm] einsetzt
...die Fourierreihe mit [mm] \bruch{a_0}{2}[/mm] und für x an einer Stelle mit cos(.....) = 1
Gruß meili
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:12 Mi 07.07.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Achsooo...ja das muss man sehen oder man siehts nicht...
Schönen Tag noch!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:20 Do 15.07.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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