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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:41 Do 15.11.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Sei $a>0$.
Zeige [mm] $\hat{\chi}_{[-a,a]}(x)=2a\mbox{sinc}(2ax)$, [/mm] wobei [mm] $\mbox{sinc}(x)=\frac{\sin(\pi x)}{\pi x}$. [/mm] |
Mein Problem ist folgendes:
Ich habe die Fouriertransformation ausgerechnet (wobei ich die Eulerformel benutzt habe) und bin gekommen auf
[mm] $\hat{\chi}_{[-a,a]}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{2\sin(ax)}{x}$. [/mm] Ich denke, dass dies richtig ist.
Ich sehe aber nicht, inwiefern dies nun identisch mit [mm] $2a\mbox{sinc}(2ax)$ [/mm] ist. Kann das jemand sehen und mir vllt. erklären?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:45 Do 15.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]a>0[/mm].
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> Zeige [mm]\hat{\chi}_{[-a,a]}(x)=2a\mbox{sinc}(2ax)[/mm], wobei
> [mm]\mbox{sinc}(x)=\frac{\sin(\pi x)}{\pi x}[/mm].
> Mein Problem ist
> folgendes:
>
> Ich habe die Fouriertransformation ausgerechnet (wobei ich
> die Eulerformel benutzt habe) und bin gekommen auf
>
> [mm]\hat{\chi}_{[-a,a]}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{2\sin(ax)}{x}[/mm].
> Ich denke, dass dies richtig ist.
>
> Ich sehe aber nicht, inwiefern dies nun identisch mit
> [mm]2a\mbox{sinc}(2ax)[/mm] ist. Kann das jemand sehen und mir vllt.
> erklären?
Zeig mal Deine Rechnungen !!
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:54 Do 15.11.2012 | | Autor: | mikexx |
Okay, gerne.
[mm] $\hat{\chi}_{[-a,a]}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-a}^{a}e^{-itx}\, [/mm] dt$
Dann: [mm] $e^{-itx}=\cos(tx)-i\cdot\sin(tx)$, [/mm] also oben weiter mit
[mm] $=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-a}^{a}\cos(tx)\, dt-i\cdot\underbrace{\int\limits_{-a}^{a}\sin(tx)\, dt}_{=0}$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{2\sin(ax)}{x}$
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:23 Do 15.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Okay, gerne.
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> [mm]\hat{\chi}_{[-a,a]}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-a}^{a}e^{-itx}\, dt[/mm]
>
> Dann: [mm]e^{-itx}=\cos(tx)-i\cdot\sin(tx)[/mm], also oben weiter
> mit
>
> [mm]=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-a}^{a}\cos(tx)\, dt-i\cdot\underbrace{\int\limits_{-a}^{a}\sin(tx)\, dt}_{=0}[/mm]
>
> [mm]=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{2\sin(ax)}{x}[/mm]
ich glaube zu wissen, woran das liegt.
Die Def. der Fouriertrafo ist in der Literatur nicht einheitlich ! Manchmal findet man das:
$ [mm] \mathcal{F}(f)(t) [/mm] = [mm] \frac{1}{\left(2\pi\right)^{\frac{n}{2}}} \int_{\IR^n} f(x)\,e^{-\mathrm{i} t \cdot x} \,\mathrm{d} [/mm] x$,
und manchmal das:
[mm] $\mathcal{F}(f)(t) [/mm] = [mm] \int_{\IR^n} f(x)\, e^{-2\pi \mathrm{i} t \cdot x} \,\mathrm{d} [/mm] x $
Der Aufgabensteller hat wohl nicht die Def. benutzt, die Du verwendet hast.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:43 Do 15.11.2012 | | Autor: | mikexx |
danke, damit rechne ich es jetzt nochmal aus 
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