Fouriertrafo im Sobolevraum H1 < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:12 Mi 12.03.2008 | | Autor: | PatrickC |
Hallo
ich stehe vor folgender Frage: Angeblich ist die Fouriertransformierte â einer Funktion a aus dem Sobolevraum [mm] H^1(R^3) [/mm] ein Element des Raumes L^(6/5+c) für beliebiges c.
Aber wie kommt man darauf?
Ich weiß, dass ein Element von [mm] H^1 [/mm] quadratintegrabel ist und daher die Fouriertransformierte dieselbe Eigenschaft hat (da [mm] (L^2) [/mm] * = [mm] L^2). [/mm] Aber damit komme ich wohl nicht weiter.
Hat es was mit der existenz der ersten Ableitung von a zu tun? Wenn ja, wie bringt mich das weiter?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gruß
Patrick
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Hi,
> Hallo
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> ich stehe vor folgender Frage: Angeblich ist die
> Fouriertransformierte â einer Funktion a aus dem
> Sobolevraum [mm]H^1(R^3)[/mm] ein Element des Raumes L^(6/5+c) für
> beliebiges c.
>
soll das heissen [mm] $\hat{a}\in L^p$ [/mm] fuer alle [mm] $p\ge \frac65$?
[/mm]
> Aber wie kommt man darauf?
> Ich weiß, dass ein Element von [mm]H^1[/mm] quadratintegrabel ist
> und daher die Fouriertransformierte dieselbe Eigenschaft
> hat (da [mm](L^2)[/mm] * = [mm]L^2).[/mm] Aber damit komme ich wohl nicht
> weiter.
hm, trivial ist das nicht, soviel steht fest...  intuitiv wuerde ich denken, dass du ueber die definition der sobolevraeume mittels fourier-trafo argumentieren musst. es ist ja zb.
[mm] $H^1=\left\{u:\int (1+|\xi|^2) |\hat{u}(\xi)|^2\,d\xi <\infty\right\}$
[/mm]
ich hoffe, das stimmt so, bin auch kein experte auf dem gebiet der fourier-analysis. wie man jetzt genau weiter argumentiert, weiss ich auch nicht, aber vielleicht hilft dir das ein wenig weiter.
gruss
matthias
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:08 Do 13.03.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Mir kam gerade die Idee, dass die 6/5 aus der Hölderungleichung kommen könnten:
[mm] $\|fg\|_1 \le \|f\|_p*\|g\|_q [/mm] $ für [mm] $f\in \mathcal{L}^p$, $g\in \mathcal{L}^q$ [/mm] und [mm] $\bruch{1}{p}+\bruch{1}{q}=1$.
[/mm]
Wenn [mm] $p=\bruch{6}{5}$, [/mm] dann ist q=6.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 Do 13.03.2008 | | Autor: | PatrickC |
Hallo und danke für die raschen Antworten. Aber ich frage mich, inwiefern ich die Hölderungleichung nutzen kann, bzw. was die 6 in diesem Fall damit zu tun hat.
Auf jeden Fall ist bekannt, dass für eine Funktion a [mm] \in L^p [/mm] gilt, dass â [mm] \in L^q [/mm] ist, für 1/q + 1/p = 1, was man meines Wissens mit der Hölderungleichung zeigt.
Dann würde sich die Frage wohl darauf reduzieren, ob ich zeigen kann, dass eine Funktion aus [mm] H^1 [/mm] automatisch in [mm] L^{6-c} [/mm] für c>0 ist.
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Hi,
> Hallo und danke für die raschen Antworten. Aber ich frage
> mich, inwiefern ich die Hölderungleichung nutzen kann, bzw.
> was die 6 in diesem Fall damit zu tun hat.
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> Auf jeden Fall ist bekannt, dass für eine Funktion a [mm]\in L^p[/mm]
> gilt, dass â [mm]\in L^q[/mm] ist, für 1/q + 1/p = 1, was man meines
> Wissens mit der Hölderungleichung zeigt.
>
> Dann würde sich die Frage wohl darauf reduzieren, ob ich
> zeigen kann, dass eine Funktion aus [mm]H^1[/mm] automatisch in
> [mm]L^{6-c}[/mm] für c>0 ist.
jetzt kommen wir der sache schon naeher: schon mal was von sobolev-zahl bzw. einbettungssaetzen gehoert? fuer die raeume [mm] $H^{m,p}(\Omega)$ [/mm] definiert man die sobolev-zahl als [mm] $m-\frac [/mm] np$ [mm] ($\Omega\subset R^n$) [/mm] . [mm] $H^{m,p}$ [/mm] bettet jetzt stetig in [mm] $L^q$ [/mm] ein, falls [mm] $m-\frac np\ge -\frac [/mm] nq$. Falls das erfuellt ist, sind funktionen aus [mm] $H^{m,p}$ [/mm] also auch in [mm] $L^q$. [/mm] Wenn du jetzt die konkreten daten einsetzt ($m=1,n=3,p=2$), kannst du ausrechnen, fuer welche $q$ die ungleichung erfuellt ist.
Eine kurze ueberschlagung meinerseits lieferte das gewuenschte ergebnis...
gruss
matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:53 Fr 21.03.2008 | | Autor: | PatrickC |
>[mm]H^{m,p}[/mm] bettet jetzt
> stetig in [mm]L^q[/mm] ein, falls [mm]m-\frac np\ge -\frac nq[/mm].
Damit sagst du also, dass eine injektive, stetige Einbettung i von [mm]H^{m,p}[/mm] in [mm]L^q[/mm] existiert, falls das q geeignet gewählt ist?
Das war mir nicht bekannt, aber das macht die Sache natürlich um einiges klarer!
vielen Dank dafür!
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