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| Aufgabe | Setzen Sie die folgende- auf 0<x<2 definierte Funktion periodisch auf R fort und entwickeln Sie sie in eine Fourierreihe:
[mm] f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } 0\le x <1 \mbox{ } \\ -1, & \mbox{für } 1\le x <2 \mbox{} \end{cases} [/mm]
Berechnen Sie den punktweisen Grenzwert an x=2 dieser Fourierreihe. |
hallo,ich habe diese als ungerade Funktion entwickelt habe jedoch das Problem, dass ich nicht weiß, wie ich mit den Grenzen 0 bis 2 umgehen soll. Wie soll man wissen wo der Cosinus 0 ist??
Habe als bk: [mm] 1/\pi \*-cos(2n)/n [/mm] raus. Wie gehe ich vor wenn ich nicht [mm] \pi [/mm] einsetze sonern eben 2 als x?
Lg gernot
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo gernot2000,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Setzen Sie die folgende- auf 0<x<2 definierte Funktion
> periodisch auf R fort und entwickeln Sie sie in eine
> Fourierreihe:
> [mm]f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } 0\le x <1 \mbox{ } \\ -1, & \mbox{für } 1\le x <2 \mbox{} \end{cases}[/mm]
>
> Berechnen Sie den punktweisen Grenzwert an x=2 dieser
> Fourierreihe.
> hallo,ich habe diese als ungerade Funktion entwickelt habe
> jedoch das Problem, dass ich nicht weiß, wie ich mit den
> Grenzen 0 bis 2 umgehen soll. Wie soll man wissen wo der
> Cosinus 0 ist??
Stelle eine Verbindung her mit der Periode [mm]2\pi[/mm].
Dort wird der Cosinus an den Stellen [mm]\bruch{\pi}{2}, \ \bruch{3\pi}{2}[/mm] zu 0.
Auf die Periode 2 übertragen heisst das:
Der Cosinus wird hier an den Stellen [mm]\bruch{1}{2}, \ \bruch{3}{2}[/mm] zu 0.
> Habe als bk: [mm]1/\pi \*-cos(2n)/n[/mm] raus. Wie gehe ich vor
Poste dazu Deine Rechenschritte.
> wenn ich nicht [mm]\pi[/mm] einsetze sonern eben 2 als x?
>
> Lg gernot
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruss
MathePower
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[mm] 1/\pi*\integral_{0}^{2}{f(x)*sin(nx) dx}=
[/mm]
[mm] 1/\pi*\integral_{0}^{1}{1*sin(nx) dx}+ 1/\pi*\integral_{1}^{2}{(-1)*sin(nx) dx}=
[/mm]
[mm] 1/\pi*((-cos(nx)/n)[fuer0-1]+(cos(nx)/n))[fuer [/mm] 1-2]
Jetzt häng ich, wenn ich dich richtig verstanden habe, kann ich jetzt statt 1 einfach [mm] 1\pi [/mm] und für 2 [mm] 2\pi [/mm] einsetzen.
Wenn das so erlaubt ist(wieso eigentlich??) kann ichs hoff. rechnen.
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Hallo gernot2000,
> [mm]1/\pi*\integral_{0}^{2}{f(x)*sin(nx) dx}=[/mm]
>
Die Funktionen Sinus und Cosinus haben die Periode 2.
Damit lauten die periodischen Funktionen: [mm]\sin\left(n*\pi*x\right), \ \cos\left(n*\pi*x\right)[/mm]
Damit lautet das Integral:
[mm]\bruch{1}{\pi}*\integral_{0}^{2}{f(x)*sin(n\blue{\pi}x) dx}[/mm]
> [mm]1/\pi*\integral_{0}^{1}{1*sin(nx) dx}+ 1/\pi*\integral_{1}^{2}{(-1)*sin(nx) dx}=[/mm]
>
> [mm]1/\pi*((-cos(nx)/n)[fuer0-1]+(cos(nx)/n))[fuer[/mm] 1-2]
>
> Jetzt häng ich, wenn ich dich richtig verstanden habe,
> kann ich jetzt statt 1 einfach [mm]1\pi[/mm] und für 2 [mm]2\pi[/mm]
> einsetzen.
> Wenn das so erlaubt ist(wieso eigentlich??) kann ichs
> hoff. rechnen.
Gruss
MathePower
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danke MathePower
[mm] 1/\pi*((-(-1)^{n}+1/n)+(1-(-1)^{n}/n))=
[/mm]
[mm] 2/pi*(-(-1)^{n}+1/n)
[/mm]
0=> n= 2,4,6,8....
[mm] 4/(\pi*n)=> [/mm] 1,3,5,7,9.....
[mm] f\sim4/\pi*sinx+ 4/(3\pi)*sin3x+ 4/(5\pi)*sin5x
[/mm]
Stimmt das Ergebnis?
BITTE: Wenn es jetzt ein Integral von [-3,3] wäre würde ich dann über die ungerade Periode [mm] 3\pi [/mm] das Integral "anpassen". Bei uns in der Übung wurde nämlich aufgrund von Budgetproblemen(250 leute in einer Übung!!) nur [mm] mit\pi [/mm] erklärt.
Soll heißen, kann ich bei solchen Aufgabenstellungen nach diesem Schema vorgehen?
Lg gernot2000!
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Hallo gernot2000,
> danke MathePower
>
> [mm]1/\pi*((-(-1)^{n}+1/n)+(1-(-1)^{n}/n))=[/mm]
>
> [mm]2/pi*(-(-1)^{n}+1/n)[/mm]
>
> 0=> n= 2,4,6,8....
> [mm]4/(\pi*n)=>[/mm] 1,3,5,7,9.....
>
> [mm]f\sim4/\pi*sinx+ 4/(3\pi)*sin3x+ 4/(5\pi)*sin5x[/mm]
>
> Stimmt das Ergebnis?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> BITTE: Wenn es jetzt ein Integral von [-3,3] wäre würde
> ich dann über die ungerade Periode [mm]3\pi[/mm] das Integral
> "anpassen". Bei uns in der Übung wurde nämlich aufgrund
> von Budgetproblemen(250 leute in einer Übung!!) nur [mm]mit\pi[/mm]
> erklärt.
> Soll heißen, kann ich bei solchen Aufgabenstellungen nach
> diesem Schema vorgehen?
>
Grundlage ist das Gesetz: [mm]\omega*T=2\pi[/mm]
,wobei T die Periode und [mm]\omega[/mm] die Kreisfrequenz bedeuten.
Dann lauten die periodischen Funktionen [mm]\sin\left(n*\omega*x\right), \ \cos\left(n*\omega*x\right)[/mm]
> Lg gernot2000!
Gruss
MathePower
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Vielen Dank!!
Bitte verstehe dass das ganze gebiet für mich wirklich neu
ist, wie sieht dass dann bei [0,3]aus?
Wäre dann mein integrationsbereich von 0 [mm] \pi [/mm] bis 3 [mm] \pi?
[/mm]
Mir ist das nicht ganz klar!
Lg gernot2000
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Hallo gernot2000,
> Vielen Dank!!
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> Bitte verstehe dass das ganze gebiet für mich wirklich neu
> ist, wie sieht dass dann bei [0,3]aus?
> Wäre dann mein integrationsbereich von 0 [mm]\pi[/mm] bis 3 [mm]\pi?[/mm]
>
Nein, der Integrationsbereich ist das Intervall [mm]\left[0,3\right][/mm].
Periode T ist 3, die Kreisfrequenz [mm]\omega=\bruch{2\pi}{3}[/mm]
> Mir ist das nicht ganz klar!
>
> Lg gernot2000
Gruss
MathePower
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Habe gestren dann ganz vergessen:
Wenn ich die Fourierreihe entwickelt habe wie kann ich dann den Grenzwert an der Stelle x=2 ausrechnen?
Muss ich hier einfach einsetzen sprich:
[mm] 4/\pi*sin2+ 4/3\pi* sin6+4/5\pi*sin10 [/mm] ?????
Lg gernot2000
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Hallo gernot2000,
> Habe gestren dann ganz vergessen:
>
> Wenn ich die Fourierreihe entwickelt habe wie kann ich dann
> den Grenzwert an der Stelle x=2 ausrechnen?
> Muss ich hier einfach einsetzen sprich:
> [mm]4/\pi*sin2+ 4/3\pi* sin6+4/5\pi*sin10[/mm] ?????
>
Der Beginn der Fourierreihe lautet doch:
[mm]\bruch{4}{\pi}*\sin\left(\blue{\pi}*x\right)+\bruch{4}{3\blue{\pi}}*\sin\left(3\pi*x\right)+\bruch{4}{5\pi}*\sin\left(5\blue{\pi}*x\right)[/mm]
Damit lautet sie an der Stelle x=2:
[mm]\bruch{4}{\pi}*\sin\left(\blue{\pi}*2\right)+\bruch{4}{3\blue{\pi}}*\sin\left(3\pi*2\right)+\bruch{4}{5\pi}*\sin\left(5\blue{\pi}*2\right)[/mm]
> Lg gernot2000
Gruss
MathePower
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Okay, danke!
[mm] \integral_{0}^{1}{1* sin(n*\pi*x)dx}
[/mm]
wird das dann zu:
[mm] -cos(n\pix)/n\pi [/mm] oder zu [mm] -cos(n\pix)/n
[/mm]
falls es zu ersteres wäre käme ja auch noch ein [mm] \pi^{2} [/mm] dazu
also: [mm] 4/\pi^{2}*sin\pix+ 4/3\pi^{2}*sin3x
[/mm]
müsste doch dann eigentlich so aussehen, wenn mich meine Integrationskenntnisse nicht total verlassen haben??
lg gernot 2000
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Hallo gernot2000,
> Okay, danke!
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{1* sin(n*\pi*x)dx}[/mm]
> wird das dann zu:
>
> [mm]-cos(n\pix)/n\pi[/mm] oder zu [mm]-cos(n\pix)/n[/mm]
> falls es zu ersteres wäre käme ja auch noch ein [mm]\pi^{2}[/mm]
> dazu
>
> also: [mm]4/\pi^{2}*sin\pix+ 4/3\pi^{2}*sin3x[/mm]
>
Die entwickelte Fouierreihe stimmt schon so:
[mm] \bruch{4}{\pi}\cdot{}\sin\left(\blue{\pi}\cdot{}x\right)+\bruch{4}{3\blue{\pi}}\cdot{}\sin\left(3\pi\cdot{}x\right)+\bruch{4}{5\pi}\cdot{}\sin\left(5\blue{\pi}\cdot{}x\right)[/mm]
> müsste doch dann eigentlich so aussehen, wenn mich meine
> Integrationskenntnisse nicht total verlassen haben??
>
> lg gernot 2000
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:50 Mi 07.11.2012 | | Autor: | gernot2000 |
Okay vieln dank, mir ist zwar nicht ganz klar warum [mm] \pi [/mm] bei der integration vernachlässigt wird aber, ok!
Grenzwert ist dann logischerweise ja
grenzwert(x=2)=0?
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Okay vieln dank, mir ist zwar nicht ganz klar warum [mm] \pi [/mm] bei der integration vernachlässigt wird aber, ok!
Gilt denn hier keine Kettenregel, wenn nein könntest du mir kurz erlären wieso nicht?
Grenzwert ist dann logischerweise ja
grenzwert(x=2)=0?
stimmt das?
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Hallo gernot2000,
> Okay vieln dank, mir ist zwar nicht ganz klar warum [mm]\pi[/mm] bei
> der integration vernachlässigt wird aber, ok!
Es gilt doch:
[mm]\integral_{0}^{T}{\sin\left(n*\omega*x\right)*\sin\left(n*\omega*x\right) \ dx}=\bruch{T}{2}[/mm]
,wobei [mm]\omega*T=2\pi[/mm]
> Gilt denn hier keine Kettenregel, wenn nein könntest du
> mir kurz erlären wieso nicht?
>
Wie meinst Du das?
> Grenzwert ist dann logischerweise ja
> grenzwert(x=2)=0?
> stimmt das?
>
Ja.
Gruss
MathePower
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Hallo MathePower!!
Naja ich dachte dass beim integrieren des [mm] sinus(n*\pi*x), [/mm] danach der [mm] -cosinus(n*\pi*x) [/mm] durch die innere ableitung dividiert werden muss, also durch [mm] n*\pi.
[/mm]
Wolphram alpha würde es auch so ausgeben, aber wenn ich dich jetzt verstanden habe hängt das damit zusammen, dass wir die funktion ja an [mm] 2\pi [/mm] anpassen?
Habe gerade ein ähnliches BSP durchgerechnet, dürfte ich es dir dann auch noch posten?
lg gernot2000
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Hallo gernot2000,
> Hallo MathePower!!
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> Naja ich dachte dass beim integrieren des [mm]sinus(n*\pi*x),[/mm]
> danach der [mm]-cosinus(n*\pi*x)[/mm] durch die innere ableitung
> dividiert werden muss, also durch [mm]n*\pi.[/mm]
Das ist ja auch richtig.
> Wolphram alpha würde es auch so ausgeben, aber wenn ich
> dich jetzt verstanden habe hängt das damit zusammen, dass
> wir die funktion ja an [mm]2\pi[/mm] anpassen?
>
> Habe gerade ein ähnliches BSP durchgerechnet, dürfte ich
> es dir dann auch noch posten?
>
Nur zu.
> lg gernot2000
Gruss
MathePower
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XD
Dann käme ICH aber auf [mm] ....../n*\pi^{2}, [/mm] da ja vor dem ganzen integral auch schon [mm] 1/\pi [/mm] steht, oder nicht??
Wo ist hier mein denkfehler?
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Hallo gernot2000,
> XD
> Dann käme ICH aber auf [mm]....../n*\pi^{2},[/mm] da ja vor dem
> ganzen integral auch schon [mm]1/\pi[/mm] steht, oder nicht??
> Wo ist hier mein denkfehler?
>
Du gehst doch davon aus, daß
[mm]\integral_{0}^{T}{\sin\left(n\cdot{}\omega\cdot{}x\right)\cdot{}\sin\left(n\cdot{}\omega\cdot{}x\right) \ dx}=\pi[/mm].
ist. Das ist nur für die Periode [mm]T=2\pi[/mm] richtig.
Und diese Periode haben wir hier nicht.
Gruss
MathePower
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