Fourierreihe, Konvergenz < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:27 Mi 15.06.2005 | | Autor: | Fazer |
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Hallo Leute! Bin neu hier. Habe Folgende Fragen: Habe bei meiner letzten Analysis Prüfung versagt und da ich mir nicht weiter zu helfen weiß wollte ich die Angaben, die ich nich lösen konnte mal hier Posten. Nun gut ich fang mal an:
1.) Löse die Fourierreihe f(x) = sign(x) x [mm] \in ]-\pi, \pi[
[/mm]
Ist diese FR konvergent.
2.) Welche der Folgen fn(x) n [mm] \in \IN [/mm] ist gleichmäßig konv. auf J?
a) fn(x) = x * [mm] (1-x²)^{n} [/mm] J = [-1,1]
b) fn(x) = [mm] n*x*(1-x²)^{n} [/mm] J = [-1,1]
c) fn(x) = [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k²}*cos(kx) [/mm] J = [mm] \IR
[/mm]
ad 1.) Konnte ich lösen - stimmt die Lösung:
f(x)=-f(-x) [mm] \Rightarrow [/mm] ungerade Funktion [mm] \Rightarrow a_{k} \equiv [/mm] 0
[mm] \to b_{k} [/mm] = [mm] \bruch{2}{\pi}* \integral_{0}^{\pi} [/mm] {sin(kx) dx}
[mm] \Rightarrow [/mm]
f(x) = [mm] \bruch{4}{\pi}* \summe_{l=0}^{\infty} \bruch{sin(2l+1)x}{2l+1}
[/mm]
Wie überprüfe ich die Konvergenz? Ich hab keinen Plan. Welches Konvergenzkriterium wende ich warum/ wann an?
ad 2) selbes Problem wie bei 1)
Wäre echt genial wenn mir hier wer weiterhelfen könnte - eventuell poste ich dann noch ein Problem bei einem Beispiel :D
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Hi, ich habe die Aufgaben jetzt nicht selbst gelöst, aber allgemein gibt es zwei Wege für die gleichmäßige Konvergenz.
Wenn Du erwartest, dass fn glm konvergiert, dann führe für fn eine Kurvendiskussion durch. Wenn Du dann ein Maximum findest (abhängig von n) kansst Du zeigen dass sup [mm] \parallel fn(x)-f(x)\parallel<... [/mm] (abhängig von n) [mm] \to [/mm] 0 für [mm] n\to\infty.
[/mm]
Wenn Du denkst, dass fn nicht glm konvergent. Suche eine Folge xn [mm] \in [/mm] I, so dass sup [mm] \parallel fn(x)-f(x)\parallel>= \varepsilon
[/mm]
f(x) erhältst Du, indem Du schaust, wohin die pktweise Konvergenz (kann für verschiedene x gegen verschiedene f gehen) geht. Glm Konvergenz kann es eh nur geben, wenn f(x) dann stetig ist.
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