Fourierreihe -> Integralprobl. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:36 Mo 06.10.2008 | | Autor: | tobe |
| Aufgabe | | Setzen Sie die auf dem Intervall [0; 1) de nierte Funktion f(x) = x zunachst gerade auf [1; 1) und dann periodisch auf ganz R fort. Entwickeln Sie die so erhaltene Funktion in eine Fourierreihe. |
Um die Fourierreihe aufzustellen benötige ich ja zuerst die Fourierkoeffizienten! Da f(x)= ungerade ist, weiss ich dass [mm] a_{0}, a_{1}...a_{n}=0 [/mm] sind.
Die anderen koeffizienten errechnen sich ja durch:
[mm] b_{n}=2/periode \integral_{0}^{periode}{f(x) sin \bruch{2\pi}{periode}nxdx}
[/mm]
In meinem Fall wäre die periode doch 1 also ergibt sich für [mm] b_{n} [/mm] folgendes:
[mm] b_{n}=2 \integral_{0}^{1}{x sin(2\pi}nx)dx
[/mm]
Und genau hier ensteht bei den Fourierreihen immer mein Problem. Ich schaffe es einfach nicht das Integral sinnvoll zu lösen um die Koeffizienten raus zu bekommen!
Also wir geht ihr denn auf das Integral los?
Lg Tobias
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:43 Mo 06.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> Setzen Sie die auf dem Intervall [0; 1) de nierte Funktion
> f(x) = x zunachst gerade auf [1; 1) und dann periodisch auf
> ganz R fort. Entwickeln Sie die so erhaltene Funktion in
> eine Fourierreihe.
> Um die Fourierreihe aufzustellen benötige ich ja zuerst
> die Fourierkoeffizienten! Da f(x)= ungerade ist, weiss ich
> dass [mm]a_{0}, a_{1}...a_{n}=0[/mm] sind.
>
> Die anderen koeffizienten errechnen sich ja durch:
> [mm]b_{n}=2/periode \integral_{0}^{periode}{f(x) sin \bruch{2\pi}{periode}nxdx}[/mm]
>
> In meinem Fall wäre die periode doch 1 also ergibt sich für
> [mm]b_{n}[/mm] folgendes:
> [mm]b_{n}=2 \integral_{0}^{1}{x sin(2\pi}nx)dx[/mm]
>
> Und genau hier ensteht bei den Fourierreihen immer mein
> Problem. Ich schaffe es einfach nicht das Integral sinnvoll
> zu lösen um die Koeffizienten raus zu bekommen!
> Also wir geht ihr denn auf das Integral los?
>
> Lg Tobias
Wie wärs mit partieller Integration ?
fred
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:03 Mo 06.10.2008 | | Autor: | tobe |
Danke für die Antwort.
Zum Glück bin ich vorher noch von selbst drauf gekommen. Wenn man nicht in der Übung ist, übersieht man echt die einfachsten Dinge.
Hier meine Lösung: (es wäre schön wenn sie jmd. bestätigen könnte)
$ [mm] b_{n}=2 \integral_{0}^{1}{x sin(2\pi}nx)dx [/mm] $ = [mm] 2[\bruch{-cos(2\pi n)}{2\pi n} [/mm] - [mm] \integral_{0}^{1}{ \bruch{-cos(2\pi nx)}{2\pi n}dx}] [/mm] = [mm] 2[\bruch{-cos(2\pi n)}{2\pi n}+\bruch{sin(2\pi n)}{4\pi^{2} n^{2}}]
[/mm]
Passt das?
Lg Tobi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:56 Mo 06.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> Danke für die Antwort.
> Zum Glück bin ich vorher noch von selbst drauf gekommen.
> Wenn man nicht in der Übung ist, übersieht man echt die
> einfachsten Dinge.
>
> Hier meine Lösung: (es wäre schön wenn sie jmd. bestätigen
> könnte)
>
> [mm]b_{n}=2 \integral_{0}^{1}{x sin(2\pi}nx)dx[/mm] =
> [mm]2[\bruch{-cos(2\pi n)}{2\pi n}[/mm] - [mm]\integral_{0}^{1}{ \bruch{-cos(2\pi nx)}{2\pi n}dx}][/mm]
> = [mm]2[\bruch{-cos(2\pi n)}{2\pi n}+\bruch{sin(2\pi n)}{4\pi^{2} n^{2}}][/mm]
>
> Passt das?
>
> Lg Tobi
Ja, was ist
[mm] cos(2\pi [/mm] n) = ?? und [mm] sin(2\pi [/mm] n) = ??
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:21 Mo 06.10.2008 | | Autor: | tobe |
[mm] sin(2\pi [/mm] n) ist halt immer 0 und der [mm] cos(2\pi [/mm] n)=1
-> [mm] \bruch{-1}{\pi n}
[/mm]
D.h. für meine Fourierkoeffizinten:
[mm] b_{0}!!
[/mm]
[mm] b_{1}=\bruch{-1}{1\pi}
[/mm]
[mm] b_{2}=\bruch{-1}{2\pi}
[/mm]
[mm] b_{3}=\bruch{-1}{3\pi}
[/mm]
[mm] b_{4}=\bruch{-1}{4\pi}
[/mm]
Und somit schaut die Fourierreihe folgendermaßen aus:
[mm] \bruch{-1}{1\pi}sin2\pi [/mm] x + [mm] \bruch{-1}{2\pi}sin2\pi [/mm] 2x + [mm] \bruch{-1}{3\pi}sin2\pi3 [/mm] x...
Ich hoffe das passt so. ich bin mir auch nicht so ganz sicher was die periode ist. Ich denke aber doch 1!
Danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:10 Mo 06.10.2008 | | Autor: | Zorba |
Ja die Periode ist 1.Die Funktion f(x) =x wiederholt sich ja immer nach einem Intervall der Länge 1
|
|
|
|
