matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Schulmathe
  Status Primarstufe
  Status Mathe Klassen 5-7
  Status Mathe Klassen 8-10
  Status Oberstufenmathe
    Status Schul-Analysis
    Status Lin. Algebra/Vektor
    Status Stochastik
    Status Abivorbereitung
  Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Bundeswettb. Mathe
    Status Deutsche MO
    Status Internationale MO
    Status MO andere Länder
    Status Känguru
  Status Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenIntegrationFourierreihe
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Integration" - Fourierreihe
Fourierreihe < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integration"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Fourierreihe: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:23 So 16.09.2007
Autor: pleaselook

Aufgabe
[mm] f(x)=\begin{cases} \cos{(x)}, & \mbox{für } x \in [-\pi ,0[ \\ -\cos{(x)}, & \mbox{für } x\in [0,\pi] \end{cases} [/mm]

Bestimmen Sie die Fourierreihe!

Abend.

Also f(x) ist ja punktsymmetrisch. [mm] \Rightarrow a_0 [/mm] und [mm] a_k=0 [/mm]

[mm] b_k=-\bruch{2}{\pi}\integral^{\pi}_0{ \cos{(x)}\sin{(kx)} dx} [/mm]

[mm] \integral{\cos(x)\sin(kx)}dx=-\bruch{\cos(x)\cos(kx)}{k}-\bruch{1}{k}\integral{sin(x)\cos(kx)}dx [/mm]
[mm] \integral{sin(x)\cos(kx)}dx=\bruch{\sin(x)\sin{kx}}{k}-\bruch{1}{k}\integral{\cos(x)\sin(kx)}dx [/mm]

[mm] \Rightarrow \integral{\cos(x)\sin(kx)}dx=-\bruch{\cos(x)\cos(kx)}{k}-\bruch{\sin(x)\sin{kx}}{k^2}+\bruch{1}{k^2}\integral{\cos(x)\sin(kx)}dx [/mm]
[mm] \Rightarrow(\bruch{k^2-1}{k^2})\integral{\cos(x)\sin(kx)}dx=-\bruch{k\cos(x)\cos(kx)-\sin(x)\sin(kx)}{k^2} [/mm]
[mm] \Rightarrow\integral{\cos(x)\sin(kx)}dx=-\bruch{k\cos(x)\cos(kx)-\sin(x)\sin(kx)}{k^2-1} [/mm]

[mm] b_k=-\bruch{2}{\pi}\integral^{\pi}_0{ \cos{(x)}\sin{(kx)} dx}=-\bruch{2}{\pi}[(\bruch{k(-1)^k}{k^2-1})-(-\bruch{-k}{k^2-1})]=\bruch{-2(k(-1)^k-k)}{\pi(k^2-1)} [/mm]

Also heißt die Fourierreihe: [mm] f(x)=\summe_{k=1}^{\infty}b_k(\sin(kx)) [/mm]


Also nächstes wollte ich das in die kompl. Form bringen. Stimmt das den bis  jetzt?

        
Bezug
Fourierreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:43 So 16.09.2007
Autor: rainerS

Hallo!

> [mm]f(x)=\begin{cases} \cos{(x)}, & \mbox{für } x \in [-\pi ,0[ \\ -\cos{(x)}, & \mbox{für } x\in [0,\pi] \end{cases}[/mm]
>  
> Bestimmen Sie die Fourierreihe!
>  Abend.
>
> Also f(x) ist ja punktsymmetrisch. [mm]\Rightarrow a_0[/mm] und
> [mm]a_k=0[/mm]
>  
> [mm]b_k=-\bruch{2}{\pi}\integral^{\pi}_0{ \cos{(x)}\sin{(kx)} dx}[/mm]
>  
> [mm]\integral{\cos(x)\sin(kx)}dx=-\bruch{\cos(x)\cos(kx)}{k}-\bruch{1}{k}\integral{sin(x)\cos(kx)}dx[/mm]
>  
> [mm]\integral{sin(x)\cos(kx)}dx=\bruch{\sin(x)\sin{kx}}{k}-\bruch{1}{k}\integral{\cos(x)\sin(kx)}dx[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow \integral{\cos(x)\sin(kx)}dx=-\bruch{\cos(x)\cos(kx)}{k}-\bruch{\sin(x)\sin{kx}}{k^2}+\bruch{1}{k^2}\integral{\cos(x)\sin(kx)}dx[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow(\bruch{k^2-1}{k^2})\integral{\cos(x)\sin(kx)}dx=-\bruch{k\cos(x)\cos(kx)-\sin(x)\sin(kx)}{k^2}[/mm]

Kleiner Fehler:
[mm] \left(\bruch{k^2-1}{k^2}\right)\integral{\cos(x)\sin(kx)}dx=-\bruch{k\cos(x)\cos(kx)\red{+}\sin(x)\sin(kx)}{k^2}[/mm]

[mm]\Rightarrow\integral{\cos(x)\sin(kx)}dx=-\bruch{k\cos(x)\cos(kx)\red{+}\sin(x)\sin(kx)}{k^2-1}[/mm]

Jetzt fällt dein Fehler raus, aber ein weiteres Vorzeichen ist falsch:
[mm]b_k=-\bruch{2}{\pi}\integral^{\pi}_0{ \cos{(x)}\sin{(kx)} dx}=-\bruch{2}{\pi}[(\bruch{k(-1)^k}{k^2-1})-(-\bruch{\red{+}k}{k^2-1})]=\bruch{-2(k(-1)^k\red+k)}{\pi(k^2-1)}[/mm]

Für ungerade k ist [mm]b_k[/mm] gleich Null. Die letzte Formel gilt aber nür für [mm]k>1[/mm]. Für k=1 ergibt sich ein unbestimmter Ausdruch 0/0.

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
                
Bezug
Fourierreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:48 So 16.09.2007
Autor: pleaselook

O.k. Danke erstmal für die Korrektur

Dann habe ich jetzt aber ein Problem, wenn [mm] b_1 [/mm] nicht definiert ist, oder?

Bezug
                        
Bezug
Fourierreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:04 So 16.09.2007
Autor: rainerS

Hallo!

> O.k. Danke erstmal für die Korrektur
>  
> Dann habe ich jetzt aber ein Problem, wenn [mm]b_1[/mm] nicht
> definiert ist, oder?

Ich habe nicht gesagt, dass es nicht definiert ist, sondern dass du es aus deiner endgültigen Formel nicht bestimmen kannst. Du hast bei der Herleitung einmal durch [mm]k^2-1[/mm] geteilt, das geht für den Fall k=1 natürlich nicht.

Du kannst aber direkt

[mm]b_1 = -\bruch{2}{\pi}\integral_0^\pi \sin x \cos x dx = -\bruch{1}{\pi}\integral_0^\pi \sin (2x) dx=0 [/mm]

ausrechnen.

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
                
Bezug
Fourierreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:00 So 16.09.2007
Autor: pleaselook

komplex dann: [mm] f(x)=\summe_{-\infty}^{\infty}\bruch{k(-1)^k+k}{\pi(k^2-1)}e^{jnx}? [/mm]

Wenn ich kompl.->reell umwandeln will, gibt es ja [mm] c_n [/mm] und [mm] c_{-n}. [/mm]
Ist [mm] c_{-n} [/mm] einfach nur [mm] c_n [/mm] mit n->-n (hier nat. k)?  

Bezug
                        
Bezug
Fourierreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:54 Mo 17.09.2007
Autor: holwo

Hallo!
ja, [mm] c_{-n} [/mm] ist [mm] c_{n} [/mm] mit n durch -n ersetzt (bzw. k durch -k)

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integration"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.schulmatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]