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Berechnen Sie die Fourierreihe von
$$
f(t)= 2t+1, -1 [mm] \le [/mm] t <1
$$
und sonst periodisch fortgesetzt.
Da f weder gerade noch ungerade ist, müssen wir annehmen, dass [mm] $a_k$ [/mm] und [mm] $b_k$ [/mm] ungleich $0$ sind. Die Periode T=2, somit
[mm] $a_0 [/mm] = [mm] \int_{-1}^{1}(2t+1)dt [/mm] = 2$
und
[mm] $$a_k [/mm] = [mm] \frac{2}{2} \int_{-1}^{1}2t [/mm] cos(k [mm] \pi [/mm] t)dt + [mm] \int_{-1}^{1}cos(k \pi [/mm] t)dt$$
Das zweite Integral wird = $0$, da,
[mm] $$\int_{-1}^{1}cos(k \pi [/mm] t) = [mm] \frac{sin(\pi k t)}{\pi k} |_{-1}^{1} [/mm] = 0 $$, nachdem der Sinus von allen ganzzahligen Vielfachen von [mm] $\pi$ [/mm] Null ist.
Andererseits ist
$$ [mm] \int_{-1}^{1}2t cos(\pi [/mm] k t)dt = 2t [mm] \frac{sin(\pi k t)}{\pi k}\bigl|_{-1}^{1}-2\int_{-1}^{1}\frac{sin(\pi k t)}{\pi k}$$
[/mm]
wobei wieder [mm] $sin(\pi [/mm] k) [mm] \forall [/mm] k [mm] \in \mathbb{N} [/mm] =0$, somit verbleibt:
[mm] $$-2\int_{-1}^{1}\frac{sin(\pi k t)}{\pi k} [/mm] = 2 ( [mm] \frac{cos(\pi k t)}{(\pi k)^2} [/mm] - [mm] \frac{cos(-\pi k t)}{(\pi k)^2} \bigl)_{-1}^{1}$$
[/mm]
da $cos(x) = cos(-x)$ erhalten wir
$$2 ( [mm] \frac{cos(\pi k t)}{(\pi k)^2} [/mm] - [mm] \frac{cos(-\pi k t)}{(\pi k)^2} \bigl)_{-1}^{1}=0$$
[/mm]
zu [mm] $b_n$
[/mm]
[mm] $$b_n [/mm] = [mm] \int_{-1}^{1}2t [/mm] sin(k [mm] \pi [/mm] t)dt + [mm] \int_{-1}^{1}sin(k \pi [/mm] t)dt $$
Nun ist das zweite Integral [mm] $$\int_{-1}^{1}sin(k \pi [/mm] t)dt =0$$, weil
[mm] $$\int_{-1}^{1}sin(k \pi [/mm] t)dt = [mm] -\frac{cos(\pi k t)}{\pi k} \bigl|_{-1}^{1} [/mm] = [mm] \frac{-cos(\pi k)}{\pi k} [/mm] + [mm] \frac{cos(-\pi k)}{\pi k} [/mm] = 0$$
und das letzte Integral verbleibt als:
[mm] $$\int_{-1}^{1} [/mm] 2tsin(k [mm] \pi [/mm] t)dt = [mm] -2t\frac{cos(\pi k t)}{\pi k} \bigl|_{-1}^{1} [/mm] + [mm] \frac{2sin(\pi k t)}{(\pi k)^2} \bigl|_{-1}^{1}$$
[/mm]
auch hier gilt, dass $sin=0$
also haben wir nur
[mm] $$-2t\frac{cos(\pi k t)}{\pi k} \bigl|_{1}^{1} [/mm] = [mm] -2\frac{cos(\pi k )}{\pi k}- 2\frac{cos(-\pi k )}{\pi k} =-4\frac{cos(\pi k )}{\pi k}$$
[/mm]
und da cos -1 oder 1 ist, haben wir
[mm] $$b_k [/mm] = [mm] \frac{-4(-1)^{n}}{\pi k} [/mm] = [mm] \frac{4(-1)^{n+1}}{\pi k}$$
[/mm]
Zusammengefasst lauten die Fourier-Koeffizienten also
[mm] $$a_0 [/mm] =2$$
[mm] $$a_k [/mm] = 0$$
[mm] $$b_k [/mm] = [mm] \frac{4(-1)^{n+1}}{\pi k}$$
[/mm]
Ist alles richtig?
Ich habe diese Frage auch hier gestellt: https://math.stackexchange.com/questions/4811718/fourier-series-of-t-periodic-function
Vielen herzlichen Dank für Antworten!
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:40 So 26.11.2023 | | Autor: | Infinit |
Hallo Markus Konrad,
ich habe Deine Frage wieder zum Leben erweckt, um schnell mitzuteilen, dass Deine Rechnungen in Ordnung sind und auch sauber und nachvollziehbar beschrieben wurden.
Einen kleinen Tipp will ich Dir hier noch auf den Weg mitgeben. Als alter E-Techniker schaue ich mir solche Funktionen immer in Hinblick auf Gleich- und Wechselanteile an und solch eine Betrachtungsweise vereinfacht auch hier etwas die Rechnung. Man schleppt in der Fourierreihenentwicklung gerne etliche Integralterme mit sich rum, die sich dann zu Null ergeben. So ist es ja auch in Deinem Beispiel. Wenn Du Dir die Funktion aufzeichnest, stellt Du ja fest, dass sie Werte im Bereich zwischen -1 und 3 annimmt. Betrachtest Du den Gleichanteil von 1 getrennt, dann kannst Du Dir ein paar Rechenschritte sparen.
Der Gleichanteil von 1 bei Deiner Funktion wird ja in der Fourierreihenentwicklung durch den Term [mm] \frac{a_0}{2} [/mm] repräsentiert und demzufolge ist [mm] a_0 = 2 [/mm].
Dann bleibt aber nur noch eine Restfunktion übrig, die ungerade zur t-Achse ist und das heißt, dass nur Koeffizienten mit [mm] b_k [/mm] vorkommen können. Du brauchst nur über die Hälfte Deines Intervalls zu integrieren und kommst dann auch zu Deinem Ergebnis. Gerade bei linearen Funktionen ist es meist empfehlenswert, mal einen Blick auf die Werte zu werfen und danach kann man häufig, leider nicht immer, die Rechnung vereinfachen.
Viel Spaß bei weiteren Analysen wünscht
Infinit
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