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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:03 Mo 11.07.2005 | | Autor: | eleftro |
Hallo
Habe eine Aufgabe und es soll
ak = [mm] \integral_{0}^{1/100} [/mm] {sin(100*x* [mm] \pi) [/mm] *cos(m*x) dx}
berechnet werden !
Habe mir deshalb aus "Papula 2 " seite 161, einen zu bestimmung der Furierkoeffizienten, Integral genommen !
[mm] \integral_{a}^{b} [/mm] {sin(n*x) * cos(m*x) dx}
[mm] \bruch{(-cos(n-m)x)}{(2(n-m)} [/mm] + [mm] \bruch{cos(n+m)x}{2(n+m)}
[/mm]
ich setze mein m und n ein , kann es aber nicht verkleinern !!!
[mm] \bruch{-cos(100* \pi-m)x}{(2(100* \pi-m)} [/mm] - [mm] \bruch{cos(100* \pi+m)x}{2(100* \pi+m)}
[/mm]
m = [mm] \bruch{2*Pi*k}{T} [/mm] T=1/100 Funktion(|sin(100*Pi*x)|)
ich glaube da kürzt sich nix weg und wenn ich dann meine 1/100 und 0 einsetze habe ich eine riesen Gleichung das kann aber nicht mein ak sein ?
Könnte mir einer zeigen wie ich es handlicher hinbekomme !
ak soll [mm] 4/Pi(1-4k)^2 [/mm]
bekomme für m = [mm] \bruch{2*Pi*k}{T} [/mm] T=1/100
200 *[ ( [mm] \bruch{-cos(100* \pi-m) \bruch{1}{100}}{2(100* \pi-m)} [/mm] - [mm] \bruch{cos(100* \pi+m)\bruch{1}{100}}{2(100* \pi+m)} [/mm] ) - ( [mm] \bruch{-cos(100* \pi-m)0}{(2(100* \pi-m)} [/mm] - [mm] \bruch{cos(100* \pi+m)0}{2(100* \pi+m)})]
[/mm]
macht
200 *[ ( [mm] -\bruch{cos( \pi-2 \pi*k)}{2(100* \pi-200* \pi*k)} [/mm] - [mm] \bruch{cos( \pi-2 \pi*k)}{2(100* \pi+200* \pi*k)} [/mm] ) - ( [mm] \bruch{-cos(0)}{2(100* \pi-200* \pi*k)} [/mm] - [mm] \bruch{cos(0)}{2(100* \pi+200* \pi*k)})]
[/mm]
200 *[ ( [mm] -\bruch{cos( \pi-2 \pi*k)}{2(100* \pi-200* \pi*k)} [/mm] - [mm] \bruch{cos( \pi-2 \pi*k)}{2(100* \pi+200* \pi*k)} [/mm] + [mm] \bruch{cos(0)}{2(100* \pi-200* \pi*k)} [/mm] + [mm] \bruch{cos(0)}{2(100* \pi+200* \pi*k)})][/mm]
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> [mm]\bruch{-cos(100* \pi-m)x}{(2(100* \pi-m)}[/mm] - [mm]\bruch{cos(100* \pi+m)x}{2(100* \pi+m)}[/mm]
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Hallo,
Ruhe bewahren, tief durchatmen und los geht's.
Setzen wir die Grenzen ein, kriegen wir
[mm]\bruch{-cos((100* \pi-m) \bruch{1}{100})}{(2(100* \pi-m)}[/mm] - [mm]\bruch{cos((100* \pi+m)\bruch{1}{100})}{2(100* \pi+m)}[/mm]-[ [mm]\bruch{-cos((100* \pi-m)0)}{(2(100* \pi-m)}[/mm] - [mm]\bruch{cos((100* \pi+m)0)}{2(100* \pi+m)}][/mm]
=[mm]\bruch{-cos(( \pi-\bruch{m}{100})}{(2(100* \pi-m)}[/mm] - [mm]\bruch{cos((\pi+\bruch{m}{100})}{2(100* \pi+m)}[/mm]-[ [mm]\bruch{-cos0}{(2(100* \pi-m)}[/mm] - [mm]\bruch{cos0}{2(100* \pi+m)}][/mm]
=[mm]\bruch{cos(-\bruch{m}{100})}{(2(100* \pi-m)}[/mm] - [mm]\bruch{-cos(\bruch{m}{100})}{2(100* \pi+m)}[/mm]-[ [mm]\bruch{-1}{(2(100* \pi-m)}[/mm] - [mm]\bruch{1}{2(100* \pi+m)})[/mm]
=[mm]\bruch{cos(\bruch{m}{100})}{(2(100* \pi-m)}[/mm] - [mm]\bruch{-cos(\bruch{m}{100})}{2(100* \pi+m)}[/mm]-[ [mm]\bruch{-1}{(2(100* \pi-m)}[/mm] - [mm]\bruch{1}{2(100* \pi+m)})[/mm]
=[mm] \bruch{1}{2}cos(\bruch{m}{100})(\bruch{(100* \pi+m)+(100* \pi-m)}{((100* \pi-m)(100* \pi+m)}[/mm] - [mm] \bruch{1}{2}[[/mm] [mm]\bruch{-(100* \pi+m)+(100* \pi-m)}{((100* \pi-m)(100* \pi+m)})[/mm]
=[mm]cos(\bruch{m}{100})(\bruch{100* \pi}{((100* \pi-m)(100* \pi+m)})[/mm] + [ [mm]\bruch{m}{((100* \pi-m)(100* \pi+m)}))[/mm]
=[mm]cos(\bruch{m}{100})(\bruch{100* \pi}{((100* \pi-m)(100* \pi+m)})[/mm] + [ [mm]\bruch{m}{((100* \pi-m)(100* \pi+m)}))[/mm]
[mm] =\bruch{1}{((100* \pi-m)(100* \pi+m)}(100* \pi cos(\bruch{m}{100})+m)
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{(100* \pi)^2-m^2} [/mm] (100* [mm] \pi cos(\bruch{m}{100})+m)
[/mm]
Das ist doch nicht mehr lang.
Gruß v. Angela
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