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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:35 Mo 28.02.2011 | | Autor: | David90 |
| Aufgabe | Die Funktion f: [-1,1[ [mm] \to \IR [/mm] ist definiert durch
[mm] f(x)=\begin{cases} -x, & \mbox{für } -1 \le x<0\\ 0, & \mbox{für } 0 \le x <1 \end{cases}
[/mm]
a) Skizzieren Sie die periodische Fortsetzung von f.
b) Besitzt f Symmetrien?
c) Bestimmen Sie für [mm] n\ge1 [/mm] das n-te Fourierpolynom von f. |
Hi Leute, sitzte grad an nen paar Aufgaben und komm bei der hier nicht weiter. Und zwar hab ich ne Frage zu a) Muss ich da vorher irgendetwas berechnen oder kann ich die Funktio einfach so skizzieren?
Gruß David
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:38 Mo 28.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Die Funktion f: [-1,1[ [mm]\to \IR[/mm] ist definiert durch
> [mm]f(x)=\begin{cases} -x, & \mbox{für } -1 \le x<0\\ 0, & \mbox{für } 0 \le x <1 \end{cases}[/mm]
>
> a) Skizzieren Sie die periodische Fortsetzung von f.
> b) Besitzt f Symmetrien?
> c) Bestimmen Sie für [mm]n\ge1[/mm] das n-te Fourierpolynom von
> f.
> Hi Leute, sitzte grad an nen paar Aufgaben und komm bei
> der hier nicht weiter. Und zwar hab ich ne Frage zu a) Muss
> ich da vorher irgendetwas berechnen
Nein.
> oder kann ich die
> Funktio einfach so skizzieren?
Ja
FRED
> Gruß David
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:47 Mo 28.02.2011 | | Autor: | David90 |
Aber ich weiß ja garnicht wie genau die aussieht...halt, dass se für negative x-Werte zwischen -1(eingeschlossen) und 0 liegt und dass sie für 0 zwischen 0(eingeschlossen) und 1 liegt :O
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:13 Mo 28.02.2011 | | Autor: | David90 |
Ach nee hat sich erledigt...ist ja einfach nur eine normale gerade mit dem anstieg -1 im intervall von -1 bis 0 (0 nicht eingeschlossen) und eine weitere Gerade (die x-Achse) im intervall von 0 und 1 (1 nicht eingeschlossen) richtig?:)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:24 Mo 28.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Soweit richtig, und dann periodisch fortsetzen, d.h. den Graphen, den du hast jeweils 2 nach rechts, bzw links verschieben,
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:27 Mo 28.02.2011 | | Autor: | David90 |
ok alles klar, das ist dann aber keine stetige funktion oder? man fängt ja immer wieder von oben an
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> ok alles klar, das ist dann aber keine stetige funktion
> oder? man fängt ja immer wieder von oben an
Hallo,
ja, so ist es.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:42 Mo 28.02.2011 | | Autor: | David90 |
ok alles klar, so jetz is die Frage ob f Symmetrien besitzt. Kann man das irgendwie rechnerisch nachweisen? Man überprüft ja jetzt nur f und nicht auch noch die periodischen Fortsetzungen.
Gruß David
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:52 Mo 28.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> ok alles klar, so jetz is die Frage ob f Symmetrien
> besitzt. Kann man das irgendwie rechnerisch nachweisen? Man
> überprüft ja jetzt nur f und nicht auch noch die
> periodischen Fortsetzungen.
Überprüfe ob
f(-x)=f(x) für x [mm] \in [/mm] ]-1,1[
oder
f(-x)=-f(x) für x [mm] \in [/mm] ]-1,1[.
Beides ist nicht der Fall (rechne es nach)
Dann hat auch die Fortsetzung von f keine Symmetrien.
FRED
> Gruß David
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:59 Mo 28.02.2011 | | Autor: | David90 |
Was ist den f(-x)? Ist das
[mm] f(-x)=\begin{cases} x, & \mbox{fuer} -1 \le -x<0\\ 0, & \mbox{fuer} 0 \le -x <1 \end{cases} [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:10 Mo 28.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Was ist den f(-x)? Ist das
> [mm]f(-x)=\begin{cases} x, & \mbox{fuer} -1 \le -x<0\\ 0, & \mbox{fuer} 0 \le -x <1 \end{cases}[/mm]
Nein
FRED
> ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:59 Mo 28.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du dich so schwer tust mit f(-x) überleg erst mal was ist f(-0.5) und f(0.5) oder f(-0.3) und f(0.3)
ausserdem kannst du deinen graph betrachten: ist er punktsym zu 0 ist er spiegelsym. zur y-achse?
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:18 Mo 28.02.2011 | | Autor: | Lentio |
Hallo,
wollte nur ein mal die Vorgehensweise nachfragen.
Also, der erste "Teilterm" wäre doch ungerade, da f(-x)=-f(x) gilt. Aber durch die 0, die gleichzeitig gerade und ungerade ist, ist die Funktion nicht symmetrisch. Ist das so richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:53 Mo 28.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
das in "Teilen" zu betrachten bringt einfach nix. da der "erste"Term nur bis 0 gilt kann ich ja nichts über Symmetrie aussagen, auch für [mm] y=x^2 [/mm] für x>0 ist weder sym noch antisym sondern es kommt dann auf die def für x<0 an.
hier ist doch einfach klar dass weder f(x)=f(-x) gilt, noch f(x)=-f(-x)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 Mo 28.02.2011 | | Autor: | Lentio |
Danke für die Antwort.
Und wie sieht es mit dem Fourierpolynom aus. wie geht man mit den beiden "Teilen" um?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:36 Mo 28.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Danke für die Antwort.
>
> Und wie sieht es mit dem Fourierpolynom aus. wie geht man
> mit den beiden "Teilen" um?
Wie sind denn die Fourierkoeffizienten von f definiert ???
Da mußt Du doch nur in Deinen Unterlagen nachschauen !!
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 Mo 28.02.2011 | | Autor: | Lentio |
DAs wäre ja allg. für z.B [mm] a_n=\bruch{2}{T} \integral_{0}^{T}{f(x) cos(kwx)dx}. [/mm] Aber was setze ich jetzt für f(x) ein? Und was in T? einfach nur 2, da f(x) 2-periodisch.
mfg
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Hallo Lentio,
> DAs wäre ja allg. für z.B [mm]a_n=\bruch{2}{T} \integral_{0}^{T}{f(x) cos(kwx)dx}.[/mm]
> Aber was setze ich jetzt für f(x) ein? Und was in T?
> einfach nur 2, da f(x) 2-periodisch.
Ja.
Für f(x) setzt Du die Definition ein.
>
>
> mfg
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Mo 28.02.2011 | | Autor: | jaood |
Hallo,
ich habe noch eine Rückfrage zum Terminus "Fortsetzung". Bedeutet dies, dass man die ursprüngliche Skizze einfach entlang der x-Achse verschiebt, oder bedeutet dies, dass man für -x auch die richtigen Werte einsetzt (also im Intervall [1, 2] dann entsprechend -1 und -2 bekommt. Dazu habe ich zwei Skizzen erstellt. Liege ich recht in der Annahme, dass die Verschiebung entlang der X-Achse korrekt ist?
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:13 Mo 28.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
die untere Zeichnung ist die richtig fortgesetzte. die Bezeichng mit f und g ist unglücklich.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:00 Mo 28.02.2011 | | Autor: | Lentio |
Muss leider noch einmal nachfragen, komme mit der Fourieranalysis einfach nicht klar:
[mm] a_n=\integral_{0}^{2}{-x*cos (k\pi x )dx}
[/mm]
= [mm] \bruch{-x}{k*\pi}sin(k\pi [/mm] x [mm] )|_{0}^{2}+\bruch{1}{k*\pi}\integral_{0}^{2}{sin(k\pi x ) dx}
[/mm]
= [mm] \bruch{-x}{k*\pi}sin(k\pi [/mm] x [mm] )|_{0}^{2}-\bruch{1}{k^{2}*\pi^{2}}cos(k\pi [/mm] x [mm] )|_{0}^{2}
[/mm]
Komme dann aber auf 0.
[mm] b_k= \integral_{0}^{2}{-x*sin (k\pi x )dx}
[/mm]
[mm] =\bruch{-x}{k*\pi}cos(k\pi [/mm] x [mm] )|_{0}^{2}-\bruch{1}{k*\pi}\integral_{0}^{2}{cos(k\pi x ) dx}
[/mm]
= [mm] \bruch{-x}{k*\pi}cos(k\pi [/mm] x [mm] )|_{0}^{2}-\bruch{1}{k^{2}*\pi^{2}}sin(k\pi [/mm] x [mm] )|_{0}^{2}
[/mm]
= [mm] \bruch{2}{k*\pi}
[/mm]
[mm] \Rightarrow Fourierpolynom=\Sigma_{k=1}^{\infty} \bruch{2}{k*\pi}sin(k\pi*x)
[/mm]
Ist das okay? War es das damit?
mfg
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Hallo,
gegeben war
[mm] f(x)=\begin{cases} -x, & \mbox{für } -1 \le x<0\\
0, & \mbox{für } 0 \le x <1 \end{cases} [/mm],
welche periodisch fortgesetzt wurde.
> Muss leider noch einmal nachfragen, komme mit der
> Fourieranalysis einfach nicht klar:
>
>
> [mm]a_n=\integral_{0}^{2}{-x*cos (k\pi x )dx}[/mm]
Das ist nicht richtig.
Es ist ja [mm]a_n&=\frac{2}{T}\int_{c}^{c+T} f(t) \cdot \cos(n\omega t)\, \mathrm{d}t[/mm]
Es ist T=2, und mit c=0 hast Du
[mm] $a_n&=\int_{0}^{2} [/mm] f(t) [mm] \cdot \cos(n\omega t)\, \mathrm{d}t$.
[/mm]
Nun kannst Du aber nicht einfach für f(t) einsetzen -x, denn f(t) ist doch gar nicht über dem ganzen Intervall [0,2] gleich -x.
Du mußt das Intervall passend zu Deiner Funktion aufteilen.
Mit einem Blick auf Deine Skizze wirst Du leicht die Funktionsgleichung für [mm] t\in [/mm] [1,2] finden.
Weniger nachzudenken braucht man allerdings, wenn man c=-1 wählt, also von -1 bis 1 integriert...
Gruß v. Angela
>
> = [mm]\bruch{-x}{k*\pi}sin(k\pi[/mm] x
> [mm])|_{0}^{2}+\bruch{1}{k*\pi}\integral_{0}^{2}{sin(k\pi x ) dx}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{-x}{k*\pi}sin(k\pi[/mm] x
> [mm])|_{0}^{2}-\bruch{1}{k^{2}*\pi^{2}}cos(k\pi[/mm] x [mm])|_{0}^{2}[/mm]
>
>
> Komme dann aber auf 0.
>
>
> [mm]b_k= \integral_{0}^{2}{-x*sin (k\pi x )dx}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{-x}{k*\pi}cos(k\pi[/mm] x
> [mm])|_{0}^{2}-\bruch{1}{k*\pi}\integral_{0}^{2}{cos(k\pi x ) dx}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{-x}{k*\pi}cos(k\pi[/mm] x
> [mm])|_{0}^{2}-\bruch{1}{k^{2}*\pi^{2}}sin(k\pi[/mm] x [mm])|_{0}^{2}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{2}{k*\pi}[/mm]
> [mm]\Rightarrow Fourierpolynom=\Sigma_{k=1}^{\infty} \bruch{2}{k*\pi}sin(k\pi*x)[/mm]
>
>
> Ist das okay? War es das damit?
>
> mfg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:00 Mo 28.02.2011 | | Autor: | Lentio |
Danke für die Hilfe!!!
Traue mich fast gar nicht es zu schreiben, aber ist das so gemeint:
[mm] a_k=\integral_{0}^{2}{f(t) cos(kwt) dt}\gdw\integral_{-1}^{0}{-x*cos(k\pi*t) dx }+\integral_{0}^{1}{0}?
[/mm]
Peinlich, peinlich......
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:28 Di 01.03.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
die aufteilung so ist richtig, nur musst du entweder x oder t als variable wählen,
also :
$ [mm] a_k=\integral_{0}^{2}{f(t) cos(kwt) dt}\gdw\integral_{-1}^{0}{-t\cdot{}cos(k\pi\cdot{}t) dx }+\integral_{0}^{1}{0}? [/mm] $
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:17 Di 01.03.2011 | | Autor: | Lentio |
Vielen Dank!
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