Fourier für nicht 2\pi periode < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:03 Di 13.01.2009 | | Autor: | noobo2 |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo,
ich hab in meinem Skript folgendes gefunden (anhang). T ist dabei doch die ZEit aus der normalen Formel für die Winkelgeschwindigkeit oder?
f(x+T)=f(x) verstehe ich, t, also in diesem Fall den x-wert kannman ja "als Zeit" interpretieren. Aber weshalb danna auf einmal klein t t=wx, ich hab gedacht x wäre T. Kann das jemadn erklären oder erklären wie man von der Berechnungsformel für 2 [mm] \pi [/mm] auf die allgemeine hier am Ende kommt?
sry hatte den anhang vergessen
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:59 Di 13.01.2009 | | Autor: | noobo2 |
ist irgendwas von mir unklar formuliert?
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Hallo noobo2,
> [Dateianhang nicht öffentlich]
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> Hallo,
> ich hab in meinem Skript folgendes gefunden (anhang). T
> ist dabei doch die ZEit aus der normalen Formel für die
> Winkelgeschwindigkeit oder?
> f(x+T)=f(x) verstehe ich, t, also in diesem Fall den
> x-wert kannman ja "als Zeit" interpretieren. Aber weshalb
> danna auf einmal klein t t=wx, ich hab gedacht x wäre T.
> Kann das jemadn erklären oder erklären wie man von der
> Berechnungsformel für 2 [mm]\pi[/mm] auf die allgemeine hier am Ende
> kommt
Auf die allgemeine Berechnungsformel komm man,
wenn man die Substitution
[mm]t=\omega x \Rightarrow dt=\omega \dt[/mm]
verwendet.
Es ist
[mm]a_{n}=\bruch{1}{\pi}*\integral_{-\pi}^{+\pi}{\tilde{f}\left(t\right) \ \cos\left(nt\right) dt}=\bruch{1}{\pi}*\integral_{-\pi}^{+\pi}{f\left(\bruch{t}{\omega}\right) \ \cos\left(nt\right) dt}[/mm]
Mit der angegebenen Substitution ändern sich auch die Integrationsgrenzen:
[mm]\pi=\omega x_{2} \Rightarrow x_{2}=\bruch{\pi}{\omega}=\bruch{T}{2}[/mm]
[mm]-\pi=\omega x_{1} \Rightarrow x_{1}=-\bruch{\pi}{\omega}=-\bruch{T}{2}[/mm]
Das letzte Gleichheitszeichen gilt, weil [mm]\omega*T=2\pi[/mm]
Damit folgt:
[mm]a_{n}=\bruch{1}{\pi}*\integral_{-\pi}^{+\pi}{f\left(\bruch{t}{\omega}\right) \ \cos\left(nt\right) dt}=\bruch{\omega}{\pi}*\integral_{-\bruch{T}{2}}^{+\bruch{T}{2}}{f\left(x\right) \ \cos\left(n \omega x\right) dx}=\bruch{2}{T}*\integral_{-\bruch{T}{2}}^{+\bruch{T}{2}}{f\left(x\right) \ \cos\left(n \omega x\right) dx}[/mm]
> sry hatte den anhang vergessen
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 Di 13.01.2009 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
sag mal wie kommst du hier vom ersten zum zweiten TErm ?
$ [mm] a_{n}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}\integral_{-\pi}^{+\pi}{f\left(\bruch{t}{\omega}\right) \ \cos\left(nt\right) dt}=\bruch{\omega}{\pi}\cdot{}\integral_{-\bruch{T}{2}}^{+\bruch{T}{2}}{f\left(x\right) \ \cos\left(n \omega x\right) dx}=\bruch{2}{T}\cdot{}\integral_{-\bruch{T}{2}}^{+\bruch{T}{2}}{f\left(x\right) \ \cos\left(n \omega x\right) dx} [/mm] $
bzw. woher kommt der Faktor [mm] (w/\pi)auf [/mm] einmal ?
und weshalb nennt man es t=wx, obwohl man dann etwas für x einsetzt ist klein t hier nur der substitutionsbuchstabe ? weil man setzt ja ein für x und nicht für t dann wäre es doch sinnvoller zu schreiben x=(t/w)
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Hallo noobo2,
> hallo,
> sag mal wie kommst du hier vom ersten zum zweiten TErm ?
>
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> [mm]a_{n}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}\integral_{-\pi}^{+\pi}{f\left(\bruch{t}{\omega}\right) \ \cos\left(nt\right) dt}=\bruch{\omega}{\pi}\cdot{}\integral_{-\bruch{T}{2}}^{+\bruch{T}{2}}{f\left(x\right) \ \cos\left(n \omega x\right) dx}=\bruch{2}{T}\cdot{}\integral_{-\bruch{T}{2}}^{+\bruch{T}{2}}{f\left(x\right) \ \cos\left(n \omega x\right) dx}[/mm]
>
> bzw. woher kommt der Faktor [mm](w/\pi)auf[/mm] einmal ?
Der Faktor [mm]\bruch{\omega}{\pi}[/mm] ist durch die Substitution entstanden.
> und weshalb nennt man es t=wx, obwohl man dann etwas für x
> einsetzt ist klein t hier nur der substitutionsbuchstabe ?
t ist hier die Integrationsvariable, die es zu ersetzen gilt.
> weil man setzt ja ein für x und nicht für t dann wäre es
> doch sinnvoller zu schreiben x=(t/w)
Das kommt auf dasselbe heraus.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 Di 13.01.2009 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
heißt dass das die Funktion zuvor von der variable t abhing?
also wenn meien funktion von der variable x abhängt kann ich substituieren
x=wt? das w in der substitution steht für die winkelgeschwindigkeit doch wofür steht das t (also jetzt in meienr vorgeschlagenen funktion) weil es gibt ja die formel
w= (phi/t) für die winkelgeschwindigkeit ..hängt das damit zusammen ?
kannst du mal genau erklären wie der faktor bei der substitution zusstande kommt?
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Hallo noobo2,
> hallo,
> heißt dass das die Funktion zuvor von der variable t
> abhing?
> also wenn meien funktion von der variable x abhängt kann
> ich substituieren
> x=wt? das w in der substitution steht für die
> winkelgeschwindigkeit doch wofür steht das t (also jetzt in
Nachdem Du [mm]x=\omega t[/mm] substituiert hast,
ist die neue Funktion von t abhängig.
> meienr vorgeschlagenen funktion) weil es gibt ja die
> formel
> w= (phi/t) für die winkelgeschwindigkeit ..hängt das damit
> zusammen ?
Ja.
> kannst du mal genau erklären wie der faktor bei der
> substitution zusstande kommt?
>
Nun [mm]\bruch{1}{\pi}[/mm] ist ja schon in der Formel vorhanden.
Wenn ich jetzt subsituiere:
[mm]t\left(x\right)=\omega x[/mm]
Dann ist
[mm]t'\left(x\right)=\omega[/mm]
Oder anders geschrieben:
[mm]\bruch{dt}{dx}=\omega[/mm]
[mm]\Rightarrow dt=\omega \ dx[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 Di 13.01.2009 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
ich versteh die erste zeile des bildes leider imme rnoch nicht ganz
am anfang ist es f(t) mit dem strich drüber, dann setzt er für t aber einen ausdruck mit t ein, dass macht doch keinen sinn oder?
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Hallo noobo2,
> hallo,
> ich versteh die erste zeile des bildes leider imme rnoch
> nicht ganz
> am anfang ist es f(t) mit dem strich drüber, dann setzt er
> für t aber einen ausdruck mit t ein, dass macht doch keinen
> sinn oder?
Nun die Funktion [mm]\tilde{f}[/mm] ist die auf das Intervall [mm]\left[-\pi,+\pi\right][/mm]
erweiterte Funktion [mm]f[/mm], die selbst nur auf dem Intervall [mm]\left[-\bruch{T}{2},+\bruch{T}{2}\right][/mm]
definiert ist.
Die Funktion f kannst Du auf das Intervall [mm]\left[-\pi,+\pi\right][/mm] erweitern,
in dem Du eine lineare Transformation suchst, die folgendes erfüllt:
[mm]g\left(-\bruch{T}{2}\right)=-\pi[/mm]
[mm]g\left(+\bruch{T}{2}\right)=+\pi[/mm]
Hieraus ergibt sich dann [mm]t=\omega x[/mm] bzw. [mm]x=\bruch{t}{w}[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:59 Di 13.01.2009 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
aber sag mal weshalb kann er denn, wenn er wa ssubstituieren möchte in f(t) einen ausdruck mit t konkret (t/w) einsetzten das geht dann doch nicht dann hat er das t ja gar nicht raussubstituiert
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:18 Di 13.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
jede fkt von t kannst du auch als Funktion von t/w schreiben- etwa f(t)=t t=(t/w)*w also f(t/w)=w* t/w
[mm] g(t)=t^2=w^2*(t/w)^2 [/mm] usw.
später kann ich t/w=x setzen und hab dann [mm] g(x)=w^2*x^2
[/mm]
jetzt klarer
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:28 Di 13.01.2009 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
vielen dnak das ist mir jetzt klar, aber was hat es denn jetzt genau mit dme strich über dem f im ersten term auf sich? kann man nicht die ganz normale Formel die zuvor für die [mm] 2\pi [/mm] periode genommen wurde als ausgangsformel nehmen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:58 Di 13.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu meinem Bsp. dort hab ich das eher zu leichsinnig geschrieben!
[mm] g(t)=t^2 [/mm] dann wäre [mm] g(x)=x^2 [/mm] oder [mm] g(t/w)=(t/w)^2
[/mm]
das heisst du brauchst nen anderen Namen für [mm] g(t)=t^2
[/mm]
statt g haben die halt f mit Schlange geschrieben (weils beinahe f ist)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Mi 14.01.2009 | | Autor: | noobo2 |
Hallo,
also das hier :
f(t)=t t=(t/w)*w also f(t/w)=w* t/w
steht abe mit dem
$ [mm] g(t)=t^2 [/mm] $ dann wäre $ [mm] g(x)=x^2 [/mm] $ oder $ [mm] g(t/w)=(t/w)^2 [/mm] $
im widerspruch, weil im unteren ja nur (t/w) eingesetzt wird.
Im oberen wird ja so definiert das t=t gilt weil sich das w ja wegkürzt, aber das muss man doch ncith oder das untere geht auc oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:01 Mi 14.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Hallo,
> also das hier :
> f(t)=t t=(t/w)*w also f(t/w)=w* t/w
nein! genau deshal braucht man den anderen Namen :
f° (t)=t f°(t/w)=t/w ein funktionszeichen steht genau für eine festelegte operation.
aber es gilt f°(t)=t=w*t/w=f(t/w)
>
> steht abe mit dem
>
> [mm]g(t)=t^2[/mm] dann wäre [mm]g(x)=x^2[/mm] oder [mm]g(t/w)=(t/w)^2[/mm]
> im widerspruch, weil im unteren ja nur (t/w) eingesetzt
> wird.
> Im oberen wird ja so definiert das t=t gilt weil sich das w
> ja wegkürzt, aber das muss man doch ncith oder das untere
> geht auc oder?
Den Rest von dem was du sagst versteh ich nicht.
wenn f(t/w)=sin(w*(t/w)) dann gilt f(t)=sin(w*t) [mm] f(t^3)=sin(w*t^3) [/mm] usw.
f°(t)=f(t/w) ist also da, um Funktionen, die verschieden sind auch verschiedene namen zu geben. ich hab f° verwendet jetzt statt g.
Gruss leduart
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