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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:51 Sa 06.10.2007 | | Autor: | bjoern.g |
| Aufgabe | y=x²
f(x)= [mm] \bruch{a0}{2} [/mm] + [mm] \summe_{j=1}^{\infty} [/mm] (aj*cosjx + bj*sinjx) |
Hallo
also mein problem steht irgendwie darin......
ao hab ich schon berechnet das ist klar ist 2/3 [mm] \pi [/mm] = a0
aj= [mm] \bruch{1}{\pi} \integral_{\pi}^{-\pi}{x²*cosjx dx}
[/mm]
ist mir schon klar das das über produktintegration geht ..... aber irgendwie komm ich da mit dem j nicht so ganz klar das ist ja prinzipiell der laufindex
aber wie geh ich da beim integrieren vor ??? also was passiert mit dem das versteh ich nicht so ganz .......
vll mal ein tipp oder bsp wäre nett ! danke im vorraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:05 Sa 06.10.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
du möchtest doch folgndes Integral berechnen:
$ [mm] \bruch{1}{\pi} \integral_{\pi}^{-\pi}{x²\cdot{}cosjx dx} [/mm] $
Du integrierst ja nach x, das j ist also, da es nicht von x abhängt (das es eine Laufvariable ist spielt keine Rolle,es hängt nicht von x ab) wie eine Konstante zu behandeln.
Um es aus dem cos wegzubekommen, kannst du substituieren:
u=jx
x=u/j
dx=1/j du
Also:
[mm] a_{j}=\bruch{1}{\pi}\integral_{-j\pi}^{j\pi}{j²u²cos(u)\bruch{1}{j} du}
[/mm]
Jetzt kannst du j² und j kürzen und dann das j vor das Integral ziehen, dann hast du es nicht mehr im Integranden und integrierst jetzt partiell nach u.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:10 Sa 06.10.2007 | | Autor: | bjoern.g |
das muss doch auch mit produktintegration gehen ... unser prof meinte substitution wäre da nicht unbdingt die lösung also deutlich schwerer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:15 Sa 06.10.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo bjoern,
das meinte "Hund" ja auch mit seinem Hinweis auf die partielle Integration, die Du augenscheinlich unter dem Namen "Produktintegration" kennst.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 Sa 06.10.2007 | | Autor: | bjoern.g |
ne sorry das versteh ich nicht ich hab doch trotzdem noch so ein j da drin stehen das kürzt sich ja nich ganz raus!!!
geht das nicht direkt mit partieller integration
ganz ohne substitution
ich steh im mom bisl aufm schlauch ist schon wieder paar monate her wo ich das gemacht hab
also irgendwie erscheint mir die substitution da nicht sehr sinnvoll...... mag sein das ich falsch liege aber irgendwie ^^
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 Sa 06.10.2007 | | Autor: | bjoern.g |
also habe mal probiert .....
aber was der da raus hat gut der hat direkt eingesetzt .......
oder ich bin vll. noch nicht fertig
also hätte raus : [mm] \integral_{a}^{b}{x²*cos(jx)dx}=
[/mm]
[mm] =x²*sin(jx)-\integral_{a}^{b}{2x*sin(jx) dx}=....
[/mm]
2 vors integral gezogen ....dann
[mm] \integral_{a}^{b}{x*sin(jx) dx}= [/mm] x*(-cos(jx) - [mm] \integral_{a}^{b}{1*(-sin(jx) dx}
[/mm]
dann zusammengefügt : x²*sin(jx)-2(x*(-cos(jx))+sin(jx))= F(x)
und da dann pi eingesetzt bzw. die grenzen pi und -pi
kann das mal jemand korrigieren thx!
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Hi bjoern,
> also habe mal probiert .....
> aber was der da raus hat gut der hat direkt eingesetzt
> .......
>
>
> oder ich bin vll. noch nicht fertig
>
>
> also hätte raus : [mm]\integral_{a}^{b}{x²*cos(jx)dx}=[/mm]
> [mm] =x²*sin(jx)-\integral_{a}^{b}{2x*sin(jx) dx} [/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") =....
Du hast die "innere Ableitung" von [mm] $\sin(jx)$ [/mm] unterschlagen.
Wenn du [mm] $\sin(jx)$ [/mm] ableitest, kommst du nicht auf [mm] $\cos(jx)$, [/mm] sondern auf [mm] $j\cdot{}\cos(jx)$, [/mm] also musst du das noch durch [mm] $\cdot{}\frac{1}{j}$ [/mm] "ausgleichen" - s. im anderen post...
> 2 vors integral gezogen ....dann
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{x*sin(jx) dx}=[/mm] x*(-cos(jx) -
> [mm]\integral_{a}^{b}{1*(-sin(jx) dx}[/mm]
>
> dann zusammengefügt : x²*sin(jx)-2(x*(-cos(jx))+sin(jx))=
> F(x)
>
> und da dann pi eingesetzt bzw. die grenzen pi und -pi
>
> kann das mal jemand korrigieren thx!
LG
schachuzipus
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo bjoern,
ja, das geht direkt mit zweimaliger Anwendung der partiellen Integration:
Ich lasse mal das $\frac{1}{\pi}$ vor dem Integral und die Grenzen weg, dann ist das Aufschreiben leichter 
Also $\int{\underbrace{x^2}_{f(x)}\underbrace{\cos(jx)}_{g(x)\,dx}=\underbrace{x^2}_{f(x)}\cdot{}\underbrace{\frac{1}{j}\cdot{}\sin(jx)}_{G(x)}-\int{\underbrace{2x}_{f'(x)}\cdot{}\underbrace{\frac{1}{j}\cdot{}\sin(jx)}_{G(x)}\, dx$
$=x^2\cdot{}\frac{1}{j}\cdot{}\sin(jx)-\frac{2}{j}\int{x\sin(jx)\, dx}=x^2\cdot{}\frac{1}{j}\cdot{}\sin(jx)-\frac{2}{j}\cdot{}\left[x\cdot{}\left(-\frac{1}{j}\right)\cos(jx)-\int{1\cdot{}\left(-\frac{1}{j}\right)\cos(jx)\, dx}\right]$
$=x^2\cdot{}\frac{1}{j}\cdot{}\sin(jx)-\frac{2}{j}\cdot{}\left[x\cdot{}\left(-\frac{1}{j}\right)\cos(jx)+\frac{1}{j}\int{\cos(jx)\, dx}\right]$
$=x^2\cdot{}\frac{1}{j}\cdot{}\sin(jx)-\frac{2}{j}\cdot{}\left[x\cdot{}\left(-\frac{1}{j}\right)\cos(jx)+\frac{1}{j^2}\sin(jx)\right]$
$=x^2\cdot{}\frac{1}{j}\cdot{}\sin(jx)+\frac{2}{j^2}x\cos(jx)-\frac{2}{j^3}\sin(jx)$
Hier mal die Grenzen einsetzen ergibt:
$...=(-\pi)^2\frac{1}{j}\sin(-j\pi)+\frac{2}{j^2}(-\pi)\cos(-j\pi)-\frac{2}{j^3}\sin(-j\pi)-\left[\pi^2\frac{1}{j}\sin(j\pi)+\frac{2}{j^2}\pi\cos(j\pi)-\frac{2}{j^3}\sin(j\pi)\right]$
Nun ist $\sin(j\pi)=0$ für alle $j\in\IN$ und $\cos(j\pi)=(-1)^j$
also $..=-\frac{2\pi}{j^2}\left[\cos(j\pi)+\cos(-j\pi)\right]=-\frac{4\pi}{j^2}(-1)^j$
Das noch $\cdot{}\frac{1}{\pi}$ (stand ja vor dem Integral)
$=-\frac{4(-1)^j}{j^2}$
Hoffe mal, ich hab mich nicht verrechnet
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 Sa 06.10.2007 | | Autor: | bjoern.g |
ah gut ich seh schon ich war gar nicht so falsch
das einzige was ich nicht weis wie kommst du auf das 1/j
also zb. im ersten schritt 1/j *sin(jx)
da steh ich aufm schlauch
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hehe,
du bist ja schneller als der Schall
Ich hatte eben dazu etwas in der anderen Antwort geschrieben.
du willst ja von [mm] $\cos(jx)$ [/mm] die Stammfunktion haben.
Das kannst du dir wie oben beschrieben "überlegen" (mit dem Ausgleichen...)
Oder überleg's dir einmal formal per Substitution:
[mm] $\int{\cos(jx)\, dx}$ [/mm]
Setze [mm] $z:=jx\Rightarrow \frac{dz}{dx}=j\Rightarrow dx=\frac{dz}{j}$
[/mm]
Also [mm] $\int{\cos(jx)\, dx}=\int{\cos(z)\, \frac{dz}{j}}=\frac{1}{j}\int{\cos(z)\, dz}=\frac{1}{j}\sin(z)=\frac{1}{j}\sin(jx)$
[/mm]
LG
schachuzipus
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