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Fourier Rechteckimpuls: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:43 Di 02.11.2010
Autor: idler

Aufgabe
Rechteckfunktion: [mm] f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } 0 \le x\le \pi \mbox{} \\ -1, & \mbox{für } \pi < x \le 2\pi \mbox{} \end{cases} [/mm]

gesucht FR(x)=?

mehr ist nicht gegeben.


So,

ich habe mir erstmal die Grundformeln rausgesucht:

[mm] f(x)=\bruch{a_{0}}{2}+\summe_{i=1}^{\infty}[a_{n}\*cos(nx)+b_{n}\*sin(nx)] [/mm]

[mm] a_{0}=\bruch{1}{\pi}\*\integral_{0}^{2\pi}{f(x) dx} [/mm]

[mm] a_{n}=\bruch{1}{\pi}\*\integral_{0}^{2\pi}{f(x)\*cos(nx) dx} [/mm]

[mm] b_{n}=\bruch{1}{\pi}\*\integral_{0}^{2\pi}{f(x)\*sin(nx) dx} [/mm]

so mein problem fängt jetzt schon beim bestimmen von [mm] a_{0} [/mm] an, da ich ja einmal 1 und einmal -1 für f(x) als Funktion habe, nur welches benutze ich oder ist mein ganzer ansatz schon falsch?

danke schonmal


        
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Fourier Rechteckimpuls: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:13 Di 02.11.2010
Autor: leduart

Hallo
wenn die Funktion stückweise gegeben ist, musst du das integral in entsprechend viele Teilintegrale zerlegen, hier also in das von 0 bis [mm] \pi [/mm] und das von [mm] \pi [/mm] bis [mm] +2*\pi [/mm]
2. wenn die Funktion eine gerade ist,(fx)=f(-x) überleg dir, dass alle [mm] a_k [/mm]  oder [mm] b_k [/mm] wegfallen,
entsprechend, wenn sie ungerade ist, also f(-x)=-f(x)
Besser du wählst dien Integrationsintervall nicht von 0 bis [mm] 1\pi, [/mm] sondern von [mm] -\pi [/mm] bis [mm] \pi, [/mm] unterteilt bei 0, dann sieht man die Konsequenzen leichter.
Gruss leduart


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Fourier Rechteckimpuls: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:28 Di 02.11.2010
Autor: idler

alles klar,das heisst das ich muss 4 Teilintegrale bilden, da ich einmal für die Funktion unterteilen muss und zum anderen muss ich ja über die Nullstellen vom Kosinus integrieren?

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Fourier Rechteckimpuls: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:47 Di 02.11.2010
Autor: leduart

Hallo
Nein, du willst ja nicht einen Flächeninhalt ausrechnen, also wirklich das Integral [mm]\integral_{-\pi}^{\pi}{f(x) *cos(kx)dx}\mbox{ bzw. }\integral_{-\pi}^{\pi}{f(x) *sin(kx)dx}[/mm] ausrechnen bei den Nullstellen von cos(kx) bzw sin(kx) keine Unterteilung, nur wo die Funktion f springt!
also bei 0
Welches der GesamtIntegrale ist dann -unabhängig von k- Null?
also wo ist das eine der Teilintegrale entgegengesetzt zum zweiten?
Gruss leduart


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Fourier Rechteckimpuls: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:56 Di 02.11.2010
Autor: idler

naja wenn ich [mm] \integral_{0}^{\pi}{f(x)\*cos(nx) dx} [/mm] bilde integrier ich ja über die Nullstellen oder was meinst du jetzt mit deiner letzten frage?

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Fourier Rechteckimpuls: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:08 Di 02.11.2010
Autor: fred97

Es ist

        $ [mm] \integral_{0}^{2 \pi}{f(x)*cos(nx) dx} [/mm] =  [mm] \integral_{0}^{ \pi}{1*cos(nx) dx} [/mm] + [mm] \integral_{\pi}^{ 2 \pi}{(-1)*cos(nx) dx} [/mm] $

Weiter ist  

          [mm] \integral_{0}^{ \pi}{cos(nx) dx} [/mm] =  [mm] \integral_{\pi}^{ 2 \pi}{cos(nx) dx} [/mm]

          warum ?


FRED

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Fourier Rechteckimpuls: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:13 Di 02.11.2010
Autor: idler

weil der Kosinus symmetrisch um [mm] \pi [/mm] ist. was du mir damit sagen willst weiss ich jedoch nicht. =/

Bezug
                                                        
Bezug
Fourier Rechteckimpuls: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:20 Di 02.11.2010
Autor: fred97


> weil der Kosinus symmetrisch um [mm]\pi[/mm] ist. was du mir damit
> sagen willst weiss ich jedoch nicht. =/

Darauf wollte ich Dich stoßen:

             [mm] \integral_{0}^{2 \pi}{f(x)\cdot{}cos(nx) dx}=0 [/mm]

FRED


Bezug
                                                                
Bezug
Fourier Rechteckimpuls: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:36 Di 02.11.2010
Autor: idler

ja, das heisst  [mm] a_{n}=0 [/mm] also muss ich [mm] b_{n}=\bruch{2}{p}\integral_{0}^{2\pi}{f(x)*sin(nx) dx} [/mm] als ansatz wählen?

aber ich hatte mir aufgeschrieben, dass man bei geraden Funktionen den ansatz mit Kosinus wählen muss, habe ich das beim abschreiben vllt. verdreht?

Bezug
                                                                        
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Fourier Rechteckimpuls: Stimmt ja auch
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:33 Mi 03.11.2010
Autor: Infinit

Hallo idler,
Deine Mitschrift stimmt schon, der Cosinus ist eine gerade Funktion, also wird er zur Darstellung gerader Funktionen eingesetzt und langt auch zur Darstellung.
Wenn Du Deine Funktion 2-Pi-periodisch fortsetzt, siehst Du ja, dass die Funktion ungerade ist und dass deswegen der Ansatz über die Sinusfunktion okay ist.
Viele Grüße,
Infinit


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Fourier Rechteckimpuls: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:02 Mi 03.11.2010
Autor: leduart

Hallo
ja du integrierst über die Nullstellen, du willst ja NICHT die Fläche zwischen x-Achse und  f(x)*cos(nx) berechnen, sonder wirklich das Integral.Nur auf der Schule will man mit dem Integral immer flächen ausrechnen.
Gruss leduart


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