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| Aufgabe | | Wir haben in der VO die Fourierkoeffizienten für eine Funktion [mm] $f\in L^2[0,1]$ [/mm] definiert. Üblicherweise wird in der Literatur ja das Interval [mm] $[-\pi,\pi]$ [/mm] verwendet. Wenn ich jetzt allerdings die Fourierkoeffizienten für zB $f(x)=sin(2x)$ für das Intervall $[0,1]$ berechne, müsste ich ja trivialerweise für $k=2$ den Koeffizienten $1$ erhalten und sonst immer null. Dies ist allerdings nicht der Fall. |
Wenn ich also $sin(2x)$ nur am Intervall $[0,1]$ betrachte, so wird diese durch andere trigonometrische Polynome approximiert, anstatt durch sich selbst. Dies ergibt irgendwie keinen Sinn. Wo liegt da der Fehler?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:24 Mo 14.03.2016 | | Autor: | chrisno |
Zeig mal Deine Rechnung.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:09 Mo 14.03.2016 | | Autor: | Infinit |
Hallo mathestudent222,
das gibt schon Sinn, denn das Intervall gibt ja das Repetitionsintervall für die zu approximierende Funktion vor. Bei einem Intervall zwischen 0 und 2 Pi bekommst Du gerade zwei volle Schwingungen für die Funktion [mm] \sin (2x) [/mm] unter. In einem Intervall zwischen 0 und 1 ist dies jedoch nur ein Ausschnitt aus dieser Funktion, der gerade die Funktionswerte zwischen [mm] \sin (0) = 0 [/mm] und [mm] \sin (2) = -0,76 [/mm] wiedergibt. Ein bisschen mehr als ein Sinushalbbogen. Solch eine "abgehackte Funktion" wird sicherlich nur durch mehrere Sinuskoeffizienten beschreibbar sein.
Viele Grüße,
Infinit
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| Aufgabe | | Auch wenn ich $sin(10x)$ nehme, wo sich dann auch im Intervall $[0,1]$ einige vollständige Schwingungen ausgehen, erhält man andere Koeffizienten!? |
Ich hätte in der Zwischenzeit geglaubt, dass es an folgendem Grund liegt: Wenn ich $sin(2x)$ in eine Fourierreihe entwickeln möchte, als Basisfunktionen allerdings Funktionen der Art [mm] $sin(2\pi [/mm] nx)$ und [mm] $sin(2\pi [/mm] nx)$ ist es klar, dass sich dann eine kompliziertere Linearkombination ergibt, weil die Basis nicht "passt". Also in etwa so wie in der Linearen Algebra, wenn ich einen Vektor nicht in der Standardbasis angebe! Stimmt das so?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:22 Mo 14.03.2016 | | Autor: | Infinit |
Hallo mathestudent222,
nunja, wenn Du [mm] \sin(10x) [/mm] in eine Fourierreihe entwickelst, wird wieder etwas anderes dabei herauskommen, schließlich ist es eine andere Funktion. Deine Funktion wird nur dann zu einer Fourierreihenentwicklung mit genau einer Basisfunktion passen, wenn diese Funktion genau eine Basisfunktion ist, sonst wird es immer zu einer Überlagerung verschiedener sinusförmiger Basisfunktionen kommen. In das von Dir gewählte Intervall passt keine geradzahlige Anzahl von Schwingungen der Basisfunktionen rein und insofern hat man nur eine genaue Darstellund durch die Überlagerung unendlich vieler Sinusbasisfunktionen.
Viele Grüße,
Infinit
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