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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:01 Sa 18.06.2016 | | Autor: | rubi |
| Aufgabe | Sei f(t) -> [mm] F(\omega) [/mm] und a > 0.
Zeigen Sie, dass dann gilt: f(at) -> [mm] \bruch{1}{a} [/mm] * [mm] F(\bruch{\omega}{a}) [/mm] |
Hallo zusammen,
in der Aufgabenstellung soll [mm] F(\omega) [/mm] die Fourier-Transformierte von f(t) darstellen.
Ich beschäftige mich noch nicht lange mit Fourier-Transformationen, daher habe ich mit dieser Grundaufgabe noch so meine Schwierigkeiten.
Ich weiß, dass [mm] F(\omega) =\integral_{-\infty}^{\infty}{f(t) e^{-i \omega t} dt} [/mm] ist und dass f(t) = [mm] \bruch{1}{2 \pi} [/mm] * [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{F(\omega) e^{i \omega t}d\omega} [/mm] ist.
Nun ist mir nicht klar, wie ich obige Aufgabe angehen soll.
Ist folgender Ansatz richtig ?
Es ist f(at) = [mm] \bruch{1}{2 \pi} [/mm] * [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{F(\omega) e^{i \omega at}d\omega} [/mm] (*)
und [mm] \bruch{1}{a} [/mm] * [mm] F(\bruch{\omega}{a}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{a}*\integral_{-\infty}^{\infty}{f(t) e^{-i \bruch{\omega}{a} t} dt} [/mm] (**)
Nun müsste ich nachrechnen, dass die Integrale (*) und (**) zum gleichen Ergebnis führen (vermutlich mit Produktintegration).
Stimmt dies so ?
Falls ja, müsste ich dann bei (**) für f(t) eine Stammfunktion "H(t)" definieren ?
Weil F ist ja als Fourier-Transformierte nicht die Stammfunktion von f(t).
Und bei (*) für [mm] F(\omega) [/mm] eine Ableitungsfunktion [mm] "z(\omega)" [/mm] ?
Falls ich auf dem Holzweg bin, wäre ich für Hinweise dankbar.
Viele Grüße
Rubi
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:54 Sa 18.06.2016 | | Autor: | fred97 |
Berechne das Integral
[mm] $\integral_{-\infty}^{\infty}{f(at) e^{-i \omega t} dt} [/mm] $
(Substitution [mm] $\tau=at$ [/mm] !)
und zeige, dass es = $ [mm] \bruch{1}{a} [/mm] * [mm] F(\bruch{\omega}{a}) [/mm] $ ist. Mehr st nicht zu machen.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:21 Sa 18.06.2016 | | Autor: | rubi |
Hallo Fred,
danke für den Hinweis - jetzt habe ich es hinbekommen !
Viele Grüße
Rubi
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