Fourier-Reihe konv punktweise? < Fourier-Transformati < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Fourier-Reihe der Funktion [mm] 2\pi [/mm] - periodischen Funktion
[mm] $f(x):=\begin{cases}x, \quad x\in(-\pi,\pi)\\ 0, x\in\{-\pi,\pi\}\end{cases}$
[/mm]
lautet [mm] $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2}{k}*(-1)^{k+1}*\sin(k*x)$ [/mm] ( [mm] $b_{k} [/mm] = [mm] \frac{2}{k}*(-1)^{k+1}$ [/mm] ). Konvergiert die Reihe punktweise gegen f? |
Hallo!
Ich würde die Frage mit "ja" beantworten. Allerdings weiß ich nicht, wie ich das analytisch beweisen kann. Wir haben bewiesen, dass alle Fourier-Reihen im L2-Sinne gegen f konvergieren, aber nichts über punktweise Konvergenz ausgesagt.
Was wir allerdings bewiesen haben:
[mm] $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin(k*y)}{k} [/mm] = [mm] \frac{\pi-y}{2}$
[/mm]
konvergiert gleichmäßig auf jedem Intervall [mm] [\delta,2*\pi-\delta] (\delta [/mm] > 0 klein). Kann ich einfach damit argumentieren, indem ich einfach oben $y= [mm] \pi-x$ [/mm] setze? Damit käme ich auf das gewünschte.
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:16 Do 22.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> Die Fourier-Reihe der Funktion [mm]2\pi[/mm] - periodischen
> Funktion
> [mm]f(x):=\begin{cases}x, \quad x\in(-\pi,\pi)\\ 0, x\in\{-\pi,\pi\}\end{cases}[/mm]
>
> lautet [mm]\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2}{k}*(-1)^{k+1}*\sin(k*x)[/mm]
> ( [mm]b_{k} = \frac{2}{k}*(-1)^{k+1}[/mm] ). Konvergiert die Reihe
> punktweise gegen f?
> Hallo!
>
> Ich würde die Frage mit "ja" beantworten.
Ich nicht ! ... doch ich auch:
Es gilt folgender Satz:
Ist f auf [- [mm] \pi, \pi] [/mm] von beschränkter Variation, so konvergiert ihre Fourierreihe in jedem [mm] x_0 \in \IR [/mm] gegen
[mm] $\bruch{\limes_{x\rightarrow x_0+0}f(x)+\limes_{x\rightarrow x_0-0}f(x)}{2}$.
[/mm]
FRED
> Allerdings weiß
> ich nicht, wie ich das analytisch beweisen kann. Wir haben
> bewiesen, dass alle Fourier-Reihen im L2-Sinne gegen f
> konvergieren, aber nichts über punktweise Konvergenz
> ausgesagt.
>
> Was wir allerdings bewiesen haben:
>
> [mm]\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin(k*y)}{k} = \frac{\pi-y}{2}[/mm]
>
> konvergiert gleichmäßig auf jedem Intervall
> [mm][\delta,2*\pi-\delta] (\delta[/mm] > 0 klein). Kann ich einfach
> damit argumentieren, indem ich einfach oben [mm]y= \pi-x[/mm] setze?
> Damit käme ich auf das gewünschte.
>
> Vielen Dank für Eure Hilfe!
> Grüße,
> Stefan.
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Hallo fred,
danke für deine Antwort!
> > Die Fourier-Reihe der Funktion [mm]2\pi[/mm] - periodischen
> > Funktion
> > [mm]f(x):=\begin{cases}x, \quad x\in(-\pi,\pi)\\ 0, x\in\{-\pi,\pi\}\end{cases}[/mm]
>
> >
> > lautet [mm]\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2}{k}*(-1)^{k+1}*\sin(k*x)[/mm]
> > ( [mm]b_{k} = \frac{2}{k}*(-1)^{k+1}[/mm] ). Konvergiert die Reihe
> > punktweise gegen f?
> > Hallo!
> >
> > Ich würde die Frage mit "ja" beantworten.
>
>
> Ich nicht ! Es gilt folgender Satz:
>
> Ist f auf [- [mm]\pi, \pi][/mm] von beschränkter Variation, so
> konvergiert ihre Fourierreihe in jedem [mm]x_0 \in \IR[/mm] gegen
>
> [mm]\bruch{\limes_{x\rightarrow x_0+0}f(x)+\limes_{x\rightarrow x_0-0}f(x)}{2}[/mm].
Und wo genau macht dieser Satz meiner Funktion Probleme? Im Intervall [mm] (-\pi,\pi) [/mm] ist die Funktion f doch stetig; da werden also die durch deinen Term angegeben Werte angenommen.
An den Intervallrändern [mm] -\pi [/mm] und [mm] \pi [/mm] wäre es also noch zu untersuchen, aber dort nimmt die Fourier-Reihe doch die richtigen Funktionswerte an?
Wo liegt mein Denkfehler?
Vielen Dank für Eure Mühe!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:48 Do 22.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo fred,
>
> danke für deine Antwort!
>
>
> > > Die Fourier-Reihe der Funktion [mm]2\pi[/mm] - periodischen
> > > Funktion
> > > [mm]f(x):=\begin{cases}x, \quad x\in(-\pi,\pi)\\ 0, x\in\{-\pi,\pi\}\end{cases}[/mm]
>
> >
> > >
> > > lautet [mm]\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2}{k}*(-1)^{k+1}*\sin(k*x)[/mm]
> > > ( [mm]b_{k} = \frac{2}{k}*(-1)^{k+1}[/mm] ). Konvergiert die Reihe
> > > punktweise gegen f?
> > > Hallo!
> > >
> > > Ich würde die Frage mit "ja" beantworten.
> >
> >
> > Ich nicht ! Es gilt folgender Satz:
> >
> > Ist f auf [- [mm]\pi, \pi][/mm] von beschränkter Variation, so
> > konvergiert ihre Fourierreihe in jedem [mm]x_0 \in \IR[/mm] gegen
> >
> > [mm]\bruch{\limes_{x\rightarrow x_0+0}f(x)+\limes_{x\rightarrow x_0-0}f(x)}{2}[/mm].
>
>
> Und wo genau macht dieser Satz meiner Funktion Probleme? Im
> Intervall [mm](-\pi,\pi)[/mm] ist die Funktion f doch stetig; da
> werden also die durch deinen Term angegeben Werte
> angenommen.
>
> An den Intervallrändern [mm]-\pi[/mm] und [mm]\pi[/mm] wäre es also noch zu
> untersuchen, aber dort nimmt die Fourier-Reihe doch die
> richtigen Funktionswerte an?
>
> Wo liegt mein Denkfehler?
Nirgends ! Ich hab nicht genau hingesehen. Werde es in meiner obigen Antwort verbessern
FRED
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> Vielen Dank für Eure Mühe!
> Grüße,
> Stefan
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