Fourier-Reihe < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:24 Do 28.04.2005 | | Autor: | Fabian |
Hallo,
Ich habe da mal eine kleine Frage. Es geht um folgende Aufgabe:
Man berechne die Fourier-Reihe der 2-periodischen Funktion
f(x)=1 für [mm] -1\le x\le0
[/mm]
f(x)=1-x für [mm] 0\le x\le1
[/mm]
In der Lösung steht nun folgendes:
[mm] a_{0}=\integral_{-1}^{1} {f(x)*dx}=\integral_{-1}^{0} {1*dx}-\integral_{0}^{1}{(1-x)*dx}
[/mm]
Bis dahin ist alles klar!
[mm] a_{k\ge1}=\integral_{-1}^{1} {f(x)*cos(k\pi x)*dx}=\integral_{-1}^{0} {cos(k\pi x)*dx}-\integral_{0}^{1} {x*cos(k\pi x)*dx}
[/mm]
Jetzt meine Frage. Müßte es beim zweiten Integral nicht
[mm] \integral_{0}^{1} {(1-x)*cos(k\pi x)*dx} [/mm] heißen?!?
Ich geh mal davon aus , das die Lösung richtig ist! Aber wieso ist das so? ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Vielen Dank für eure Antworten
Gruß Fabian
|
|
| |
|
Hallo Fabian,
> [mm]a_{k\ge1}=\integral_{-1}^{1} {f(x)*cos(k\pi x)*dx}=\integral_{-1}^{0} {cos(k\pi x)*dx}-\integral_{0}^{1} {x*cos(k\pi x)*dx}[/mm]
>
> Jetzt meine Frage. Müßte es beim zweiten Integral nicht
> [mm]\integral_{0}^{1} {(1-x)*cos(k\pi x)*dx}[/mm] heißen?!?
[mm]\integral_{0}^{1} {cos(k\pi x)*dx}=0[/mm]
Begründung für gerade k:
Da man immer über Vielfache einer vollen Periode des cos integriert und das Integral des cos über eine Periode Null ist.
Für ungerade k:
Da [mm]cos(k\pi x)[/mm] antisymmetrisch bezgl. der Mitte des Integrationsbereiches ist.
Eine interessante Frage wäre nat. warum man nicht auch [mm]\integral_{-1}^{0} {cos(k\pi x)*dx}=0[/mm] ausnutzt.
Alles klar?
gruß
mathemaduenn
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:05 Do 28.04.2005 | | Autor: | Fabian |
Hallo mathemaduenn
Danke für die Antwort. Jetzt ist mir alles klar! Darauf hätte ich auch alleine kommen können! ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Gruß Fabian
|
|
|
|
