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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:39 Mo 14.05.2012 | | Autor: | Lippel |
| Aufgabe | Sei $X$ diff.bare Mannigfaltigkeit, $a [mm] \in [/mm] X$ und $D: [mm] C^\infty(X) \to \IR$ [/mm] eine lineare Abbildung mit $D(fg)=f(a)D(g)+g(a)D(f)$.
Zeige, dass man $D$ eindeutig zu einem Element aus $T_aX$, also zu einer Familie [mm] $D_U:C^\infty(U) \to C^\infty(U)$, [/mm] ausdehnen kann. |
Hallo,
zunächst folgende Frage. Kann es sein, dass die Aufgabenstellung so einen Fehler enthält. Elemente aus dem Tangetialraum sind doch Familien von Abbildungen [mm] $C^\infty(U) \to \IR$ [/mm] und nicht [mm] $C^\infty(U) \to C^\infty(U)$, [/mm] oder?
Aber selbst dann gaube ich, dass ich die Aufgabe nicht ganz verstehe. Ich muss ja definieren, was [mm] $D_U(f)$ [/mm] ist für $f:U [mm] \to \IR$ [/mm] mit einer beliebigen Umgebung $U$ von $a$. Allerdings muss immer gelten, dass, falls $V [mm] \subset [/mm] U$, dann [mm] $D_V(f_V) [/mm] = [mm] D_U(f)$. [/mm] Um [mm] $D_U(f)$ [/mm] zu finden muss ich wohl $f$ differenzierbar zu $F$ auf $X$ forsetzen und dann [mm] $D_U(f):=D(F)$ [/mm] setzen, aber wie kann ich hier zeigen, dass dies unabhängig von der Wahl von $F$ ist? Wahrscheinlich muss man die Derivationseigenschaft verwenden, aber ich komme nicht drauf. Kann mir hier jemand einen Tipp geben? Oder bin ich auf einem ganz falschen Weg?
Viele Grüße,
Lippel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Fr 18.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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