Fortsetzbarkeit < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:35 Fr 13.01.2006 | | Autor: | kunzm |
| Aufgabe | DGL mit nicht auf [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] fortsetzbarer Lösung
Es seien
[mm] $y'(t)\,=\,2t\,y^2(t)$,
[/mm]
[mm] $y(0)\,=\,y_0\,>\,0$
[/mm]
Lösen sie die DGL, geben Sie den maximalen Definitionsbereich an und erläutern Sie warum die Lösung nicht fortsetzbar ist auf [mm] $\mathbb{R}$. [/mm] |
Hallo,
ich denke es ist nur eine kurze Sache, aber mir leuchtet nicht ein warum die Lösung nicht Fortsetzbar sein Soll. Das was ich bisher gemacht habe hab ich dazugeschrieben:
Es gilt:
[mm] \large$\frac{d\,y(t)}{dt}\,$\normalsize$\,=\,2t\,y^2(t)$
[/mm]
[mm] \large$\frac{1}{y^2(t)}\,$\normalsize$d\,y(t)\,=\,2t\,dt$
[/mm]
[mm] \large$\int\frac{1}{y^2(t)}\,$\normalsize$d\,y(t)\,=$\large$\,\int$\normalsize$\,2t\,dt$
[/mm]
[mm] -\large$\frac{1}{y(t)}$\normalsize$\,=\,t^2$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[mm] $y(t)\,=-$\large$\,\frac{1}{t^2}$\normalsize $D=\mathbb{R}\backslash\left\{0\right\}$
[/mm]
Beziehungsweise mit der Anfangsbedingung [mm] $D=\mathbb{R}$.
[/mm]
Und warum sollte ich das nicht fortsetzten können?
Gruß und Danke, Martin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:41 Fr 13.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Martin!
> [mm]-\large[/mm] [mm]\frac{1}{y(t)}[/mm][mm] \normalsize[/mm] [mm]\,=\,t^2[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Wo ist denn Deine Integrationskonstante?
[mm] $-\bruch{1}{y(t)} [/mm] \ = \ [mm] t^2 [/mm] \ [mm] \red{+ \ C}$
[/mm]
Damit wird: $y(t) \ = \ [mm] -\bruch{1}{t^2+C}$
[/mm]
Und nun versuche aus dem Anfangswert $y(0) \ [mm] \red{>} [/mm] \ 0$ eine Bedingung für $C_$ aufzustellen.
Gibt es hierfür Lösungen bzw. Werte für $C_$, die diese Bedingung erfüllen?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:00 Fr 13.01.2006 | | Autor: | kunzm |
Physik im Hauptstudium zerstört die Einsicht an der Notwendigkeit einer Integrationskonstanten... man möge mich teeren und federn.
Martin
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 22:04 Fr 13.01.2006 | | Autor: | kunzm |
Hmm,
jetzt muss ich doch nochmal fragen. Selbst wenn ich die Integrationskonstante mit dazu nehme, dann sagt mir meine Anfangsbedingung doch eigentlich:
[mm] $y(0)=-\frac{1}{C}:=y_0>0$
[/mm]
woraus doch nur folgt, dass C kleiner Null sein muss. Die Definitionslücke ist dann eben bei [mm] $t=\sqrt{-C},\,C<0$, [/mm] und das ist doch, wenn auch nicht stetig hebbar, hebbar:
Sei [mm] $y(t=\sqrt{-C}):=puste\in\mathbb{R}$.
[/mm]
Was kapier ich denn da nicht? Ist die Fortsetzbarkeit irgendwie an die Stetigkeit gebunden?
Gruß, Martin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:01 Mo 16.01.2006 | | Autor: | matux |
Hallo kunzm!
Leider konnte Dir keiner hier mit Deinem Problem / Deiner Rückfrage in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent
Allgemeine Tipps wie du dem Überschreiten der Fälligkeitsdauer entgegenwirken kannst findest du in den Regeln für die Benutzung unserer Foren.
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