Formulierung math. Ausdrücke < Aussagenlogik < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:44 Sa 15.12.2007 | | Autor: | jboss |
| Aufgabe | 1. Formulieren Sie die folgenden Aussagen in einen mathematischen Ausdruck um, der keine umgangssprachlichen Begroffe mehr enthält:
a) Wenn das wirklich stimmt, dass aus A immer B folgt, und B falsch ist, dann kann A erst recht nicht richtig sein.
b) Von den Aussagen A, B und C sind genau zwei wahr und eine falsch
2. Wählen Sie eine beliebige Aussage A, die Sie gerne erfüllt sähen, z.B. "Ab morgen wird der BVB jedes Spiel gewinnen." Sei nun B die folgende Aussage:
"Entweder ist B falsch oder A ist wahr."
Zeigen Sie mit Hilfe der Aussagenlogik, dass sowohl aus B als auch aus [mm] \neg [/mm] B folgt, dass A wahr ist. Wie kann es sein, dass A trotzdem nicht notwendig wahr ist?
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Hallo liebe Mathematikbegeisterte,
habe einige Fragen zu den oben genannten Aufgaben. Bin mir relativ sicher, dass ich Aufgabe 1 richtig gelöst habe.
a) $((A [mm] \gdw [/mm] B) [mm] \wedge \neg [/mm] B) [mm] \Rightarrow \neg [/mm] A)$
b) $(A [mm] \wedge [/mm] B [mm] \wedge \neg [/mm] C) [mm] \vee [/mm] (A [mm] \wedge \neg [/mm] B [mm] \wedge [/mm] C) [mm] \vee (\neg [/mm] A [mm] \wedge [/mm] B [mm] \wedge [/mm] C)$
Sind meine Lösungen richtig? Wenn nein, wo liegen meine Denkfehler?
Bei Aufgabe 2) bereitet mir die Tatsache Kopfzerbrechen, dass Aussage B offenbar eine Aussage über sich selbst aufstellt. Dennoch habe ich mich mit der Aufgabe auseinandergesetzt und habe folgende Schritte unternommen.
1. Formulierung eines mathematischen Ausdrucks der Aussage B:
[mm] $(\neg [/mm] B [mm] \otimes [/mm] A) = [mm] ((\neg [/mm] B [mm] \wedge \neg [/mm] A) [mm] \vee [/mm] (B [mm] \wedge [/mm] A))$
2. Formulierung einer aussagenlogischen Formel des folgenden Satzes auf Basis der unter 1. aufgestellten Formel: "Zeigen Sie mit Hilfe der Aussagenlogik, dass sowohl aus B als auch aus [mm] \neg [/mm] B folgt, dass A wahr ist."
[mm] $(((\neg [/mm] B [mm] \otimes [/mm] A) [mm] \Rightarrow [/mm] A) [mm] \wedge (\neg(\neg [/mm] B [mm] \otimes [/mm] A) [mm] \Rightarrow [/mm] A))$
$ = [mm] ((((\neg [/mm] B [mm] \wedge \neg [/mm] A) [mm] \vee [/mm] (B [mm] \wedge [/mm] A)) [mm] \Rightarrow [/mm] A) [mm] \wedge (\neg((\neg [/mm] B [mm] \wedge \neg [/mm] A) [mm] \vee [/mm] (B [mm] \wedge [/mm] A)) [mm] \Rightarrow [/mm] A))$
wobei [mm] $\otimes$ [/mm] das exclusive Oder repräsentiert.
Bin ich auf dem richtigen Weg? Wäre für Tipps und Hinweise wirklich sehr dankbar!
Gruss jboss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:12 Sa 15.12.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo jboss,
> 1. Formulieren Sie die folgenden Aussagen in einen
> mathematischen Ausdruck um, der keine umgangssprachlichen
> Begroffe mehr enthält:
> a) Wenn das wirklich stimmt, dass aus A immer B folgt, und
> B falsch ist, dann kann A erst recht nicht richtig sein.
> b) Von den Aussagen A, B und C sind genau zwei wahr und
> eine falsch
>
> 2. Wählen Sie eine beliebige Aussage A, die Sie gerne
> erfüllt sähen, z.B. "Ab morgen wird der BVB jedes Spiel
> gewinnen." Sei nun B die folgende Aussage:
>
> "Entweder ist B falsch oder A ist wahr."
>
> Zeigen Sie mit Hilfe der Aussagenlogik, dass sowohl aus B
> als auch aus [mm]\neg[/mm] B folgt, dass A wahr ist. Wie kann es
> sein, dass A trotzdem nicht notwendig wahr ist?
> a) [mm]((A \gdw B) \wedge \neg B) \Rightarrow \neg A)[/mm]
nicht ganz: [mm]((A \Rightarrow B) \wedge \neg B) \Rightarrow \neg A)[/mm]
In der Aufgabe heißt es "...dass aus A immer B folgt..."
nicht "...dass A und B immer äquivalent sind..."
> b) [mm](A \wedge B \wedge \neg C) \vee (A \wedge \neg B \wedge C) \vee (\neg A \wedge B \wedge C)[/mm]
yes. Diese Form nennt man übrigens "disjunktive Normalform"
Bei Aufg. 2 würde ich eine einfache Wahrheitstafel aufstellen.
Die zeigt die Behauptung sofort.
Gruß
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 Sa 15.12.2007 | | Autor: | jboss |
Hallo Koepper,
vielen Dank für deine schnelle Antwort. Meinen Fehler bei Aufgabe 1 sehe ich ein. Vielen Dank für den Hinweis. Soll ich bei Aufgabe 2 ausgehend von meiner Formel die Wahrheitstabelle aufstellen?
lg jboss
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:07 So 16.12.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo Jakob,
deine Formel unter 2.) ist zwar nicht falsch, berücksichtigt aber die entscheidende Rekursion nicht:
$B := [mm] "\neg [/mm] B [mm] \otimes [/mm] A"$
[mm] $\otimes$ [/mm] = ausschließendes ODER
B ist damit gar nicht als Aussage definiert, sondern kann nur einen Wahrheitswert tragen.
Wir können jetzt nur untersuchen, welche Konstellationen konsistent sind
in dem Sinne, daß B den gleichen Wahrheitswert hat wie [mm] $\neg [/mm] B [mm] \otimes [/mm] A$.
Mach es dir doch leicht und verwende einfach die obenstehende Formel für die Wahrheitstabelle:
A B [mm] $\neg [/mm] B [mm] \otimes [/mm] A$
f f w
f w f
w f f
w w w
Hier sehen wir, daß die rekusive Definition nur in den letzten beiden Fällen ohne Widerspruch bleibt.
Dort ist A aber wahr. Wie A ohne Widerspruch falsch werden könnte, sehe ich nicht.
Gruß
Will
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