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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:43 Mo 17.01.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Hallo, kann mir jemand sagen, ob die Aufgaben, die ich unter 1.) und 2.) aufführe, das Gleiche meinen und es nur unterschiedlich ausdrücken?
1.) Sei [mm] R\neq [/mm] 0 ein Integritätsring, in dem jede echte Teilmenge nur endlich viele Elemente hat. Zeigen Sie, dass R ein Körper ist.
2.) Zeigen Sie, dass jeder endliche Integritätsbereich ein Köroer ist. |
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:56 Mo 17.01.2011 | | Autor: | dennis2 |
Also Integritätsbereich und Integritätsring scheinen identische Begriffe zu sein, okay.
Bleibt noch zu klären, ob
a) R ist endlicher Integritätsring und
b) Jede echter Teilring hat nur endlich viele Elemente.
das Gleiche aussagen.
Ich würde sagen: JA.
Denn wenn z.B. [mm] U\subset [/mm] R ein echter Teilring ist (also endlich), dann ist doch auch [mm] R\backslash U\subset R [/mm] ein echter Teilring (also endlich), also
[mm] R=U+R\backslash U [/mm] und damit ist R doch auch endlich. Oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:08 Mo 17.01.2011 | | Autor: | fred97 |
1. Ist R eine endliche Menge, so ist natürlich auch jede echte Teilmenge von R endlich.
2. Ist R eine Menge mit der Eigenschaft, dass jede echte Teilmenge von R endlich ist, so ist natürlich auch R endlich.
Dazu sei r [mm] \in [/mm] R und M:= R \ { r }. Dann ist M eine echte Teilmenge von R, also nach Vor. endlich. Dann ist auch
R= M [mm] \cup [/mm] { r }
endlich.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:13 Mo 17.01.2011 | | Autor: | dennis2 |
Mit anderen Worten:
JA, die beiden Aufgaben meinen das Gleiche?
(Mit [mm] r\in [/mm] R meinst Du ein einzelnes Element in R?)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:15 Mo 17.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Mit anderen Worten:
>
> JA, die beiden Aufgaben meinen das Gleiche?
Ja
>
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> (Mit [mm]r\in[/mm] R meinst Du ein einzelnes Element in R?)
Ja. Such Dir eines aus, welches ist egal.
FRED
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:44 Mo 17.01.2011 | | Autor: | dennis2 |
Vielen lieben Dank!
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:52 Mo 17.01.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Aber die Voraussetzung bezieht sich doch auf Teilringe und nicht Teilmengen...
Oder sehe ich das falsch? |
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Stimmts trotzdem, dass die Aufgaben gleich sind?!
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(Frage) überfällig | | Datum: | 15:36 Mo 17.01.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Naja, vielleicht sollte ich mich einfach mal an die Aufgabe selbst machen, anstatt darüber nachzudenken, ob man sie auch anders formulieren kann.
Ich muss ja zeigen, dass R ein Körper ist. |
Ein Körper ist ja nach Definition ein kommutativer Schiefkörper.
Ein Schiefkörper wiederum ist ein Ring (R,+,*) mit Einselement, wenn jedes [mm] x\in R\backslash \{0\} [/mm] invertierbar ist.
Ich muss also zeigen:
1.) R ist ein Schiefkörper.
2.) R ist kommutativer Schiefkörper.
zu 1.)
Also ein Einselement hat R ja schonmal, da R ja ein Integritätsring, also ein nullteilerfreier kommutativer Ring mit Einselement ist.
Noch zu zeigen ist, dass jedes [mm] x\in R\backslash \left\{0\right\} [/mm] invertierbar ist, d.h. es soll ein [mm] x^{-1}\in [/mm] R existieren, sodass [mm] x*x^{-1}=x^{-1}*x=1.
[/mm]
Ich würde sagen, man betrachtet mal die Abbildung
[mm] f:R\to R,x\mapsto [/mm] ax, also die Linksmultiplikation mit a für ein [mm] a\in [/mm] R, [mm] a\neq [/mm] 0.
Diese Abbildung ist injektiv.
Begründung:
Man nehme sich [mm] x,y\in [/mm] R mit f(x)=f(y), also ax=ay, also a(x-y)=0. Nun ist ja R nullteilerfrei und [mm] a\neq [/mm] 0. Dann bleibt nur übrig, dass (x-y)=0 ist. Daraus folgt ja, dass x=y und damit die Injektivität.
Nun ist es ja so, dass eine injektive Abbildung von einer endlichen Menge auf sich selbst auch surjektiv ist. Demnach wäre doch eine solche Abbildung für die echten Teilringe, die hier ja alle endlich sein sollen, auch surjektiv.
Ich komme ab hier nicht gut weiter.
Für die echten Teilringe hat dann ja das Einselement genau ein Urbild b unter f.
Also f(b)=xb=1. Dann ist b das multiplikativ Inverse zu x.
Aber ich habe ja jetzt nur gezeigt, dass die echten Teilringe ein multiplikatiov Inverses haben. Was ist aber mit dem ganzen Ring R?
[Eine Idee: Ist nicht der Ring R dann die Vereinigung der echten Teilringe und da ja jeder einzelne echte Teilring die Eigenschaft hat, dann auch der ganze Ring R?]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:24 Mi 19.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:07 Mo 17.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Aber die Voraussetzung bezieht sich doch auf Teilringe und
> nicht Teilmengen...
In Deinem ersten Post war von echten Teilmengen die Rede ....................
FRED
>
> Oder sehe ich das falsch?
> ...
>
> Stimmts trotzdem, dass die Aufgaben gleich sind?!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:32 Mo 17.01.2011 | | Autor: | dennis2 |
Ja, ich habe mich vertan.
Entschuldigung.
Ist denn mein Beweisansatz korrekt?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:22 Mi 19.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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