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| Aufgabe | | Leite mit Hilfe der Integralrechnung die Formel her für die Rauminhaltsberechnung bei einem Zylinder. |
Hallo liebe Helfenden,
soweit bin ich gedanklich:
[Dateianhang nicht öffentlich]
V = [mm] \pi [/mm] * [mm] (f(x))^{2} [/mm] * x
V = [mm] \pi [/mm] * [mm] r^{2} [/mm] * h
Normalerweise bilde ich zur Volumenberechnung das Integral, sodass die Differenz der x-Werte des angegebenen Intervalls gegen 0 strebt & man einen möglichst genauen Wert für den Rauminhalt erhält. An dieser Stelle kann ich mir das aber sparen, weil ich ja nur einen x-Wert habe. Also der Intervall lautet [0; x].
Ich bin mir absolut nicht sicher - meine Gedanken sich wahrscheinlich auch nicht gut nachzuvollziehen, aber ich hoffe auf verständnisvolle User.
Vielen Dank schon im Voraus!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:59 Mi 18.02.2009 | | Autor: | prfk |
Moin
Einen Das Volumen eines Zylinder erhält man am einfachsten in dem man die Zylinderkoordinaten nutzt.
[mm] V_{Zyl}=\integral_{0}^{r}\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{h}{R dz}{d\varphi}{dR}=\pi*r^{2}*h
[/mm]
Ich hoffe Zylinderkoordinaten sind dir bekannt... Karthesisch gehts aber auch sonst, nur nicht so schnell.
Gruß
prfk
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> Das Volumen eines Zylinder erhält man am einfachsten
> in dem man die Zylinderkoordinaten nutzt.
>
> [mm]V_{Zyl}=\integral_{0}^{r}\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{h}{R dz}{d\varphi}{dR}=\pi*r^{2}*h[/mm]
>
> Ich hoffe Zylinderkoordinaten sind dir bekannt...
> Kartesisch gehts aber auch sonst, nur nicht so schnell.
Unsinn!
Bei der Aufgabe handelt es sich doch um eine ganz
einfache Übung zu Anfang der Berechnung von
Rotationskörpervolumina durch Integrale.
Nebenbei: In der Formel, die man dann verwendet,
steckt natürlich die Volumenformel, die man hier
"herleiten" soll, schon drin ...
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:05 Mi 18.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo VerzweifeltesOpfer!
Wende hier die Formel für das Rotationsvolumen um die x-Achse für die Funktion $y \ = \ f(x) \ = \ r$ an:
[mm] $$V_x [/mm] \ = \ [mm] \pi*\integral_{x_1}^{x_2}{y^2 \ dx}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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an prfk:
Zylinderkoordination sagt mir so viel wie das indonesische Wort für >Freitag<. Sorry. Aber Danke!
an Loddar:
Das von Dir Beschriebene habe ich zuerst probiert.
Meine "Lösung":
V = [mm] \pi*\integral_{0}^{h}{(r)^{2} dx}
[/mm]
= [mm] \pi*[\bruch{1}{3}r^{3}] [/mm] (natürlich noch 0 & h als Intervallgrenzen)
= [mm] \pi*(\bruch{1}{3}r^{3}*h [/mm] - (0))
Wie Du siehst, wirft die Bildung der Stammfunktion alles über den Haufen.
Danke für die Bemühungen!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:25 Mi 18.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo VerzweifeltesOpfer!
Deine Stammfunktion stimmt nicht. $r_$ bzw. [mm] $r^2$ [/mm] ist eine Konstante, und es wird doch nach $x_$ integriert:
[mm] $$V_x [/mm] \ = \ [mm] \pi*\integral_0^h{r^2 \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \pi*r^2*\integral_0^h{1 \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \pi*r^2*\left[ \ x \ \right]_0^h [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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Klasse, das war einleuchtend!
Habe die Herleitung vollständig.
Ich will nicht noch weiter nerven, aber ich würde gerne auch noch die Herleitung für die Volumenberechnungsformel eines Kegels verstehen wollen.
An dieser Stelle ist [mm] r/r^{2} [/mm] keine Konstante mehr, sondern nimmt zu mit zunehmender Höhe.
Was nun? Wir jetzt vielleicht r integriert? (Rate mal mit Rosenthal)
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:54 Mi 18.02.2009 | | Autor: | Kroni |
Hi,
du brauchst ja für deine Formel die Funktion [mm] $y=f(x)=\ldots$
[/mm]
Wenn du jetzt deinen Kegel hernimmst, kannst du ja $f(x)$ als einfache, lineare Funktion hinschreiben. Wie schaut dein $y=f(x)$ dann aus, wenn du deine Gerade mit passender Steigung einsetzt?
Dann einfach nochmal zwischen den Grenzen $0$ und $h$ integrieren, da ja h deine Höhe ist, und du solltest dann das richtige Volumen herausbekommen (du musst nur noch daran denken, dass du deiner Geraden die richtige Steigung gibst, damit [mm] $f(h)=\ldots$ [/mm] auch den richtigen Funktionswert rausgibt.
Viel Erfolg,
LG
Kroni
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Ich habe ja keinen Anstieg für die Funktion, da es lediglich um die Formelherleitung zur Volumenberechnung geht.
f(x) = mx + n
n ist überflüssig, da mein y-Achsenabschnitt bei 0 liegt, denn der Graph beginnt ja im Ursprung.
V = [mm] \pi*\integral_{0}^{h}{(rx)^{2} dx}
[/mm]
= [mm] \pi*\integral_{0}^{h}{(r^{2}x^{2}) dx}
[/mm]
= [mm] \pi*r^{2}*[\bruch{1}{3}x^{3}] [/mm] (0 & h als Intervallgrenzen)
= [mm] \pi*r^{2}(\bruch{1}{3}h^{3}-(0))
[/mm]
Irgendwas lief hier wieder falsch...
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Hallo,
deine lineare Funktion ist nicht korrekt, du kennst den Punkt (h;r) und (0;0), du hast erkannt n=0 ist korrekt, es gilt y=m*x einsetzen
r=m*h, also [mm] m=\bruch{r}{h} [/mm] also [mm] f(x)=\bruch{r}{h}*x
[/mm]
[mm] \pi\integral_{0}^{h}{(\bruch{r}{h}*x)^{2} dx}
[/mm]
[mm] =\bruch{\pi*r^{2}}{h^{2}}\integral_{0}^{h}{x^{2} dx}
[/mm]
den Rest du
Steffi
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Das ist ja der Knaller!
Endlich hat es geklappt!
Vielen, vielen Dank an ALLE (besonders Loddar & Steffi), die mir diesen Abend so sehr versüßt haben. Jetzt kann ich beruhigt schlafen gehen.
Solltet Ihr samstags zufällig mal in der Rathauspassage in Eberswalde vorbeikommen, dann werde ich Euch einen Deluxe-Coffee spendieren!
Danke & schlaft gut!
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