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| Aufgabe | | Die Reserven eines Edelmetalls beliefen sich Anfang 2003 auf 4,5 Mio. t. Der Jahresverbrauch lag 2003 bei 70.000 t. Es wird angenommen, dass der jährliche Verbrauch um 1 % pro Jahr steigen wird. Bis zum Ende welchen Jahres reichen die Reserven unter diesen Umständen aus? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Jetzt soll man natürlich erstmal eine Formel aufstellen, mein Versuch:
[mm] \bruch{4.500.000}{70.000*(1,01^{n})}
[/mm]
Stimmt das und wenn ja, wie bekomme ich nun das n ausgerechnet? Bestimmt durch die Verwendung eines Logarithmus oder?
Danke für eure Hilfe!
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Danke für die Antwort. Also ich habe die Gleichung =1 gesetzt, dann einen Logarithmus angewendet und komme dann auf 418,412... Jahre.
Frage aber: Warum muss man die Gleichung gerade = 1 setzen?
Danke nochmal!
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| Status: |
(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 20:06 So 21.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo SummerChris!
> Also ich habe die Gleichung =1 gesetzt, dann einen Logarithmus
> angewendet und komme dann auf 418,412... Jahre.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Und in welchem Jahr ist das dann?
> Frage aber: Warum muss man die Gleichung gerade = 1 setzen?
Die gleichung wurde streng genommen nicht gleich 1 gesetzt. Das entstand aus der Funktionsgleichung / Bestimmungsgleichung, die man ermitteln musste:
$$N(n) \ = \ 4500000 - [mm] 70000*1.01^n [/mm] \ = \ 0$$
Wenn man direkt mit den Jahreszahlen rechnen möchte, muss es heißen:
$$N(t) \ = \ 4500000 - [mm] 70000*1.01^{t-2003} [/mm] \ = \ 0$$
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:18 So 21.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Chris!
Da habe ich leider tief und fest geschlafen! (Danke leduart fürs Wecker stellen!)
Dieser Weg stimmt leider nicht, da wir hier ja nur den Verbrauch des n-ten Jahres abziehen.
Wir müssen hier vielmehr rechnen und den vermehrten Verbrauch berücksichtigen:
[mm] $$70000+70000*1.01+70000*1.01^2+70000*1.01^3+...+70000*1.01^n [/mm] \ = \ 4500000$$
[mm] $$70000*\left(1+1.01+1.01^2+1.01^3+...+1.01^n\right) [/mm] \ = \ 4500000$$
[mm] $$70000*\left(\summe_{k=0}^{n}1.01^k\right) [/mm] \ = \ 4500000$$
[mm] $$70000*\bruch{1.01^{n+1}-1}{1.01-1} [/mm] \ = \ 4500000$$
Gruß
Loddar
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Ahja, danke :)!
Und wie rechne ich das n jetzt hier aus? Sowas hab ich noch nie probiert...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:25 So 21.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Chris!
Stelle um nach [mm] $1.01^{n+1} [/mm] \ = \ ...$ und verwende dann wieder einen Logarithmus ...
Gruß
Loddar
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Hallo nochmal,
ja so schwer war das Umformen dann doch gar nicht und ich komme auf 48,8915 Jahre, was auch stimmt, wenn ich es in die von dir gegebene Gleichung einsetze.
Allerdings fällt mir auf, dass ich nicht weiß, wie du von dem Summenzeichen auf diese Bruchgleichung gekommen bist.
Also von
$ [mm] 70000\cdot{}\left(\summe_{k=0}^{n}1.01^n\right) [/mm] \ = \ 4500000 $
zu
$ [mm] 70000\cdot{}\bruch{1.01^{n+1}-1}{1.01-1} [/mm] \ = \ 4500000 $
Gibt es da eine konkrete Regel oder sowas?
Danke nochmal für die super Hilfe :)!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:12 So 21.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Chris!
Das ist die Formel für die geometrische Reihe:
[mm] $$1+q+q^2+q^3+q^4+...+q^n [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{n}q^k [/mm] \ = \ [mm] \bruch{q^{n+1}-1}{q-1}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
!!
Logarithmus