Formel umstellen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:10 Fr 02.01.2004 | | Autor: | Simi |
Ich benötige die Auflösung folgender Formel nach x
x - y
R= --------
x + y
Hinweis : der gesamte Bruch ist in Klammer und ins Quadrat gesetzt. Konnte ich hier nicht so eingeben.
Nun bin ich sehr gespannt auf die Antwort. Ich habe diesen Dienst das erste Mal ausprobiert.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:30 Fr 02.01.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Simi,
herzlich willkommen hier im MatheRaum  !
Das Umstellen deiner Formel dürfte nicht ganz so schwierig sein, ich probiere es mal:
[mm] R = \left( \frac{x-y}{x+y} \right)^2 [/mm]
Als erstes ziehe ich die Wurzel auf beiden Seiten:
[mm] \Leftrightarrow [/mm][mm] \sqrt{R} = \frac{x-y}{x+y}[/mm] [mm]\vee[/mm] [mm]-\sqrt{R} = \frac{x-y}{x+y} [/mm]
(Es folgen nun zwei parallele Rechnungen, einmal für [mm]\sqrt{R} [/mm] und einmal für [mm]-\sqrt{R}[/mm]; diese beiden Rechnungen trenne ich durch das Oder-Symbol [mm]\vee[/mm])
Jetzt multipliziere ich beide Seiten mit dem Nenner:
[mm] \Leftrightarrow [/mm][mm] \sqrt{R}*(x+y) = x-y [/mm] [mm]\vee[/mm] [mm] -\sqrt{R}*(x+y) = x-y [/mm]
[mm] \Leftrightarrow [/mm][mm] \sqrt{R}*x+\sqrt{R}*y = x-y [/mm] [mm]\vee[/mm] [mm] -\sqrt{R}*x-\sqrt{R}*y = x-y[/mm]
Sortieren der Summanden nach solchen, die x enthalten (auf die linke Seite) und solchen, die kein x enthalten (auf die rechte Seite):
[mm] \Leftrightarrow [/mm][mm] \sqrt{R}*x-x = -\sqrt{R}*y-y [/mm] [mm]\vee[/mm] [mm] -\sqrt{R}*x-x = \sqrt{R}*y-y [/mm]
Ausklammern des x auf der linken Seite:
[mm] \Leftrightarrow [/mm][mm]x*(\sqrt{R}-1) = -(\sqrt{R}*y+y) [/mm] [mm]\vee[/mm] [mm]x*(-\sqrt{R}-1) = \sqrt{R}*y-y) [/mm]
[mm] \Leftrightarrow [/mm][mm]x*(\sqrt{R}-1) = -y*(\sqrt{R}+1) [/mm] [mm]\vee[/mm] [mm]x*(-\sqrt{R}-1) = y*(\sqrt{R}-1) [/mm]
Ab hier rechne ich zunächst nur mit der linken Gleichung weiter:
[mm]x*(\sqrt{R}-1) = -y*(\sqrt{R}+1) [/mm]
Hier würde ich als nächstes gerne durch [mm]\sqrt{R}-1[/mm] dividieren, muß aber beachten, dass [mm]\sqrt{R}-1[/mm] ja auch 0 sein kann (für [mm] \sqrt{R}=1 [/mm]). Also Fallunterscheidung:
1. Fall: [mm] \sqrt{R}-1 = 0 [/mm]
Dann ergibt sich die Gleichung
[mm] \Leftrightarrow [/mm][mm]x*0 = -y*2 [/mm]
[mm] \Leftrightarrow [/mm][mm]0 = y [/mm]
Das bedeutet nun, dass es nur für y=0 Lösungen für x gibt; Lösung ist dann jedes x, also [mm] \IL_{R=1 }=\IR [/mm]
2. Fall: [mm] \sqrt{R}-1 \neq 0 [/mm]
Dann darf ich dividieren und es ergibt sich die Gleichung:
[mm] \Leftrightarrow [/mm][mm]x = -y * \frac{\sqrt{R}+1}{\sqrt{R}-1} [/mm]
[mm] \IL_{R\neq 1}= \left\{ -y * \frac{\sqrt{R}+1}{\sqrt{R}-1} \right\}[/mm]
Jetzt noch zur rechten Gleichung, deren parallele Berechnung ich oben ja zum Vorteil einer übersichtlicheren Darstellung aufgegeben hatte:
Die zweite Gleichung lautete ja:
[mm]x*(-\sqrt{R}-1) = y*(\sqrt{R}-1) [/mm]
Diese ist ein bißchen einfacher weiter zu rechnen, da der Term, durch den ich jetzt gerne dividieren will (nämlich [mm] -\sqrt{R}-1 [/mm]) nie 0 werden kann (mache dir das bitte klar, wieso das so ist).
[mm]\Leftrightarrow [/mm][mm] x = y*\frac{\sqrt{R}-1}{-\sqrt{R}-1} [/mm]
[mm]\Leftrightarrow [/mm][mm] x = -y*\frac{\sqrt{R}-1}{\sqrt{R}+1} [/mm]
Insgesamt erhalten wir also folgende Lösungen:
1. Fall: [mm] R=1 [/mm]
[mm] \IL = \IR [/mm]
2. Fall: [mm] R\neq 1 [/mm]
[mm] \IL = \left\{ -y * \frac{\sqrt{R}+1}{\sqrt{R}-1}; -y*\frac{\sqrt{R}-1}{\sqrt{R}+1} \right\} [/mm]
Die zweite Lösungsmenge ein bißchen schöner geschrieben, da ich gerade im Formel-Wahn bin:
[mm] \IL = \left\{ y * \frac{\sqrt{R}+1}{1-\sqrt{R}}; y*\frac{1-\sqrt{R}}{\sqrt{R}+1} \right\} [/mm]
Ich hoffe, damit deine Frage beantwortet zu haben; falls nicht, melde dich bitte wieder. Welche Probleme hattest du denn eigentlich bei deinen Versuchen, diese Aufgabe zu lösen?
Alles Gute,
Marc.
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