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Hallo,
ich habe da eine Frage zur Laplace-Tranformation.
Wenn f(x) = sin(ax), dann ist ja
[mm] $L{f(x)}=\int_{0}^{\infty}e^{-sx}*sin(ax)dx$
[/mm]
[mm] $=\left[-\bruch{a}{a^2+s^2}*e^{-sx}*cos(ax)-\bruch{s}{a^2+s^2}*e^{-sx} *sin(ax)\right]_{0}^{\infty}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{a}{a^2+s^2}$
[/mm]
So weit, so gut.
Jetzt steht aber in meinem Büchlein, wenn f(x) periodisch ist mit der Periode [mm] \omega, [/mm] dann gilt:
[mm] $L{f(x)}=\bruch{\int_{0}^{\omega}e^{-sx}*f(x)dx}{1-e^{-\omega*x}}$
[/mm]
Wenn ich einmal f(x)=sin(ax) dafür einsetze, dann bekomme ich
[mm] $L{f(x)}=\bruch{\bruch{a}{a^2+s^2}-\bruch{a}{a^2+s^2}*e^{-2 \pi s}*cos(2 \pi a)-\bruch{s}{a^2+s^2}*e^{-2 \pi s}*sin(2 \pi a)}{1-e^{-2 \pi s}}$
[/mm]
Wenn nun der Kosinus gleich 1 wäre und der Sinus gleich 0, dann würde es ja stimmen; wenn also a eine ganze Zahl wäre. Aber a ist doch eine bliebige relle Zahl(?).
Oder habe ich mich verrechnet?
Vielen Dank für eine Antwort.
LG, Martinius
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Hallo Martinius,
> Hallo,
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> ich habe da eine Frage zur Laplace-Tranformation.
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> Wenn f(x) = sin(ax), dann ist ja
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> [mm]L{f(x)}=\int_{0}^{\infty}e^{-sx}*sin(ax)dx[/mm]
>
> [mm]=\left[-\bruch{a}{a^2+s^2}*e^{-sx}*cos(ax)-\bruch{s}{a^2+s^2}*e^{-sx} *sin(ax)\right]_{0}^{\infty}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{a}{a^2+s^2}[/mm]
>
> So weit, so gut.
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> Jetzt steht aber in meinem Büchlein, wenn f(x) periodisch
> ist mit der Periode [mm]\omega,[/mm] dann gilt:
>
> [mm]L{f(x)}=\bruch{\int_{0}^{\omega}e^{-sx}*f(x)dx}{1-e^{-\omega*x}}[/mm]
>
> Wenn ich einmal f(x)=sin(ax) dafür einsetze, dann bekomme
> ich
>
> [mm]L{f(x)}=\bruch{\bruch{a}{a^2+s^2}-\bruch{a}{a^2+s^2}*e^{-2 \pi s}*cos(2 \pi a)-\bruch{s}{a^2+s^2}*e^{-2 \pi s}*sin(2 \pi a)}{1-e^{-2 \pi s}}[/mm]
Die Funktion [mm]\sin\left(ax\right)[/mm] hat die Periode [mm]\omega=\bruch{2 \pi}{a}, \ a \not= 0[/mm].
Das Integral ist daher auch nur von 0 bis zu dieser Stelle auszuwerten.
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> Wenn nun der Kosinus gleich 1 wäre und der Sinus gleich 0,
> dann würde es ja stimmen; wenn also a eine ganze Zahl wäre.
> Aber a ist doch eine bliebige relle Zahl(?).
>
> Oder habe ich mich verrechnet?
>
> Vielen Dank für eine Antwort.
>
> LG, Martinius
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:23 Sa 30.08.2008 | | Autor: | Martinius |
Hallo MathePower,
dann ist ja alles klar. Dankeschön.
LG, Martinius
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