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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:26 Mo 26.03.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | Leite eine Formel für das Integral: [mm] A_n =\integral x^n [/mm] * [mm] e^x [/mm] * SIN (x) dx her.
Hinweis:Verwende dafür das Resultat vom vorigen Bsp.
Bsp war:
[mm] \integral e^{ax} [/mm] sin(bx) dx [mm] =\frac{e^{ax}}{a^2+b^2} [/mm] * (-b cos(bx) + a*sin(bx))
[mm] \integral e^{ax} [/mm] cos(bx) dx [mm] =\frac{e^{ax}}{ a^2+b^2} [/mm] * (b sin(bx) + a*cos(bx)) |
Partielle Integration liefert
[mm] \integral x^n [/mm] * [mm] e^x [/mm] * SIN (x) dx=- cos x [mm] x^n e^x [/mm] + [mm] \integral [/mm] cos x * (n * [mm] x^{n-1}*e^x [/mm] + [mm] x^n [/mm] * [mm] e^x)dx
[/mm]
=- cos x [mm] x^n e^x [/mm] + [mm] \integral [/mm] cos (x) *n* [mm] x^{n-1}*e^x [/mm] dx [mm] +\integral [/mm] cosx [mm] x^n [/mm] * [mm] e^x [/mm] dx
=- cos x [mm] x^n e^x +n*[sin(x)x^{n-1} e^x [/mm] - [mm] \integral [/mm] sin(x) *(n-1) [mm] x^{n-2} e^x [/mm] dx] + [sin(x) [mm] x^n e^x [/mm] - [mm] \integral [/mm] sin(x) (n-1) [mm] x^{n-1} e^x]
[/mm]
[mm] A_n=- [/mm] cos x [mm] x^n e^x +n*sin(x)x^{n-1} e^x [/mm] - n*(n-1) [mm] A_{n-2} [/mm] + sin(x) [mm] x^n e^x [/mm] - (n-1)* [mm] A_{n-1}
[/mm]
[mm] A_n [/mm] =- cos x [mm] x^n e^x +n*sin(x)x^{n-1} e^x (-n^2+n) A_{n-2} [/mm] + sin(x) [mm] x^n e^x [/mm] - (n-1)* [mm] A_{n-1}
[/mm]
Hab ich ein Fehler?, Warum habe ich nicht das vorige Bsp gebraucht, wie es in der Angabe steht? Also muss ich irgendwas falsch gemacht haben!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:02 Di 27.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Leite eine Formel für das Integral: [mm]A_n =\integral x^n[/mm] *
> [mm]e^x[/mm] * SIN (x) dx her.
> Hinweis:Verwende dafür das Resultat vom vorigen Bsp.
>
> Bsp war:
> [mm]\integral e^{ax}[/mm] sin(bx) dx [mm]=\frac{e^{ax}}{a^2+b^2}[/mm] * (-b
> cos(bx) + a*sin(bx))
> [mm]\integral e^{ax}[/mm] cos(bx) dx [mm]=\frac{e^{ax}}{ a^2+b^2}[/mm] * (b
> sin(bx) + a*cos(bx))
> Partielle Integration liefert
>
> [mm]\integral x^n[/mm] * [mm]e^x[/mm] * SIN (x) dx=- cos x [mm]x^n e^x[/mm] +
> [mm]\integral[/mm] cos x * (n * [mm]x^{n-1}*e^x[/mm] + [mm]x^n[/mm] * [mm]e^x)dx[/mm]
> =- cos x [mm]x^n e^x[/mm] + [mm]\integral[/mm] cos (x) *n* [mm]x^{n-1}*e^x[/mm] dx
> [mm]+\integral[/mm] cosx [mm]x^n[/mm] * [mm]e^x[/mm] dx
>
> =- cos x [mm]x^n e^x +n*[sin(x)x^{n-1} e^x[/mm] - [mm]\integral[/mm] sin(x)
> *(n-1) [mm]x^{n-2} e^x[/mm] dx] + [sin(x) [mm]x^n e^x[/mm] - [mm]\integral[/mm] sin(x)
> (n-1) [mm]x^{n-1} e^x][/mm]
>
> [mm]A_n=-[/mm] cos x [mm]x^n e^x +n*sin(x)x^{n-1} e^x[/mm] - n*(n-1) [mm]A_{n-2}[/mm]
> + sin(x) [mm]x^n e^x[/mm] - (n-1)* [mm]A_{n-1}[/mm]
>
> [mm]A_n[/mm] =- cos x [mm]x^n e^x +n*sin(x)x^{n-1} e^x (-n^2+n) A_{n-2}[/mm]
> + sin(x) [mm]x^n e^x[/mm] - (n-1)* [mm]A_{n-1}[/mm]
>
> Hab ich ein Fehler?, Warum habe ich nicht das vorige Bsp
> gebraucht, wie es in der Angabe steht? Also muss ich
> irgendwas falsch gemacht haben!
Nein, hast Du nicht !
Jetzt hast Du eine wunderschöne Rekursion von der Form
[mm] $A_n= F(x)*A_{n-2}+G(x)-(n-1)A_{n-1}$ [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 2.
Die nützt Dir aber nur etwas, wenn [mm] A_0 [/mm] und [mm] A_1 [/mm] bekannt sind.
Die vorigen Beispiele brauchst Du für diese beiden Integrale.
FRED
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