Formel für Zahlen bis X < Sonstiges < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | In einer Los-Trommel sind Lose mit fortlaufenden Zahlen beginnend mit NULL. Alle Zahlen haben gleich viele Stellen n, wobei die vorderen Stellen mit Nullen aufgefüllt werden
(Beispiel: für n=3 beginnt die Serie mit 000, 001, 002 etc.)
Man gewinnt, wenn die Zahl, die man aus der Trommel zieht, mindestens eine NULL enthält.
(Beispiel: 003=Gewinn / 106=Gewinn / 214=Niete)
Aufgabe: Es ist eine Formel zu entwickeln, mit der man - wenigstens annäherungsweise - berechnen kann, wie viele Lose die Trommel enthalten muss, damit man - in Abhängigkeit von n - mit einer Wahrscheinlichkeit p einen Gewinn erzielt.
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Meine Überlegung ist dabei folgende:
In den letzten Stellen (also mit Ausnahme der ersten Stelle), ist die Wahrscheinlichkeit auf eine NULL jeweils 0.1.
Somit ist die Wahrscheinlichkeit bei einer n-Stelligen Zahl, dass die letzten Stellen keine NULL haben:
[mm] 0.9^{(n-1)}
[/mm]
Das Problem ist eigentlich nur die erste Stelle. Die hat natürlich für die ersten [mm] 10^{(n-1)} [/mm] Zahlen immer eine Null.
(Beispiel: Bei einer 3-stellligen Zahl beginnen alle Zahlen von 000 bis 099 mit NULL)
Ich habe obige Erkenntnisse in einer Formel verarbeitet, umgewandelt, etc, und habe dann im Endeffekt eine Näherungsformel rausgekriegt, die da lautet:
ZAHL = [mm] \bruch{9^{(n-1)}}{0.9^{(n-1)}-1+p} [/mm]
Ein "Zählen" mit einigen konkreten Beispielen ergab, dass das in einigen Fällen exakt hinkam, in anderen so einigermaßen, in wiederum anderen Fällen aber doch große Abweichungen auftraten.
Mit anderen Worten: Die Formel ist recht ungenau, und nicht immer anwendbar.
Hätte jemand da eine bessere Idee, wie man das löst?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:52 So 01.06.2008 | | Autor: | rabilein1 |
Lasst uns ein willkürliches Beispiel nehmen:
n=2 und p=0.3333 - also: zweistellige Zahlen ud jede dritte hat Zahl eine NULL
Die Zahlen mit den NULLEN sind dann:
00, 01, 02 ... 09,10, ... 20 ...30 ... (die letzte Zahl ist dann 38)
Es gibt also 39 Zahlen, von denen jede dritte eine NULL hat.
Nach meiner Formel wäre die gesuchte Zahl:
[mm] \bruch{9^{(2-1)}}{0.9^{(2-1)}-1+0.3333} [/mm] = 38.57
Hey, das ist ja perfekt, aufgerundet also 39 Zahlen, aber leider klappt das nicht bei allen Beispielen so gut.
Der Leser mag hier eigene Beispiel wählen, und die dann durchrechnen und sehen, welche für und welche gegen die Formel sprechen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Mo 02.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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