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| Aufgabe | Sei [mm] 0\not=n\in \IZ [/mm] mit [mm] n\not=a^2 [/mm] für alle [mm] a\in \IZ. [/mm] Seien weiter [mm] s\in \IC [/mm] mit [mm] s^2=n [/mm] und [mm] R=R_n= [/mm] { a+bs| [mm] a,b\in \IZ [/mm] }
Beh.:
a) Jedes Element aus R\ [mm] (E(R)\cup [/mm] {0}) ist Produkt von endlich vielen unzerlegbaren Elementen.
b) R besitzt unendlich viele paarweise nichtassoziierte unzerlegbare Elemente. |
Hallo allerseits.
Ich habe mal wieder einige Fragen.
Bei a)
ist eigentlich alles klar, außer ich habe irgendetwas übersehen und das Ding geht nicht relativ einfach mit der Normfunktion und der eindeutigen Primfaktorzerlegung in [mm] \IZ [/mm] zu lösen.
ABER: zu b)
habe ich mir folgendes überlegt: Es reicht ja eigentlich zu zeigen, dass eine Teilmenge ebenfalls unendlich ist, also habe ich mir die Elemente q [mm] \in [/mm] U(R) (irreduzible Elemente von R) herausgepickt, für die zumindest schon mal gilt:
q=p (für p [mm] \in \IP).
[/mm]
Sei also [mm] p\in \IP [/mm] mit p=xy (x,y [mm] \in [/mm] R) Es gilt= [mm] p^2=N(xy)=N(x)N(y). [/mm] Da [mm] p\in \IP, [/mm] folgt
1.Fall oBdA [mm] N(x)=p^2, [/mm] N(y)=1, dann bin ich fertig: p ist unzerlegbar in R.
2. Fall: N(x)=N(y)=p. Also sind x und y irreduzibel und es muss [mm] a,b\in \IZ [/mm] geben mit [mm] a^2-b^2n=p.
[/mm]
So! Hier fangen meine wirklichen Probleme an: Ich habe den ganzen Murks modulo 4 betrachtet.
1.Frage: Darf ich das? (Im Sinne von: Kann ich die Ergebnisse auch weiterführend verwerten?)
2. Frage: Sollte ich das dürfen... Wie schreibe ich das dann auf?
Ich habe es so versucht: betrachte ich [mm] p=a^2+b^2n [/mm] modulo 4, und berücksichtige ich, dass [mm] a^2\in [/mm] {0,1} modulo 4 f.a. [mm] a\in \IZ, [/mm] folgt:
[mm] p\in [/mm] { 0,1,n,n+1} modulo 4.
Sei [mm] p\equiv [/mm] 1 modulo 4. Dann gilt: es a,b [mm] \in \IZ [/mm] mit [mm] a\equiv [/mm] 1 mod 4 und [mm] b\equiv [/mm] 0 mod 4
Aber weiß ich denn z.B. dass M:= { [mm] p\in \IP [/mm] | [mm] \exists [/mm] a,b [mm] \in \IZ: a^2+b^2n=p \wedge a\equiv [/mm] 1 mod 4, [mm] b\equiv [/mm] 0 mod 4 } unendlich ist?
Wenn ja, dann wär ich ja schon schön fertig, oder?
Tut mir leid, wenn die Frage ein wenig sonderbar klingt, aber das ist das erste mal in meiner zweifelhaften Mathematikerinnenkarriere, in der ich mich ernsthaft mit dem "modulo-dings" auseinandersetze und ich habe nun wirklich überhaupt keine Ahnung.
Und sollte das so klappen, habe ich auch noch zu anderen so hübschen aufgaben potenzielle Lösungswege gefunden.
Bin für alle Ratschläge/Tipps/Korrekturen/weiterführende Erläuterungen dankbar wie immer,
Gruß
San
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mi 15.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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