Folgerung aus Satz v. Stokes < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:37 Do 23.03.2006 | | Autor: | self |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Der Satz von Stokes ist ja eine Verallgemeinerung des HS der Differential- und Integralrechnung - nur verstehe ich nicht so ganz wieso bzw. folgendes:
Satz von Stokes: Sei [mm] U \subseteq \IR^N [/mm] offen, [mm] M \subseteq U [/mm] orientierte n-dim diffbare Untermannifaltikeit, n [mm] \ge [/mm] 1, [mm] \omega [/mm] eine einmal stetig diffbare (n-1) Differentialform auf U. Dann gilt für jedes Kompaktum A mit glattem Rand [mm]\partial A[/mm] (mit induzierter Orientierung des Randes):
[mm] \integral_{A}{d \omega} [/mm] = [mm] \integral_{\partial A}{\omega}
[/mm]
Und jetzt wird daraus der HS gefolgert:
Sei [mm] M = \IR[/mm] (N=n=1), A=[a,b], [mm]\partial A = {a, b}[/mm]
[mm]\omega = f(x)[/mm] 0-Form, [mm]\partial \omega = f'(x) dx[/mm]
[mm] \integral_{A}{d \omega} = \integral_{a}^b{f'(x) dx} =
\integral_{\partial A}{\omega} = f(b)-f(a) [/mm]
Auch wenn es mir generell am Grundverständnis der Differentialformen zu mangeln scheint (was ich u.a. mit dem Verständis dieser Folgerung aufbessern möchte *g*), verstehe ich nicht, wieso das Integral dieser Diffform über den Rand von A f(b)-f(a) ist.
Kann das mal jemand kurz erklären? Danke im vorraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:29 Do 23.03.2006 | | Autor: | SEcki |
> [mm]\integral_{A}{d \omega} = \integral_{a}^b{f'(x) dx} =
\integral_{\partial A}{\omega} = f(b)-f(a)[/mm]
>
> Auch wenn es mir generell am Grundverständnis der
> Differentialformen zu mangeln scheint (was ich u.a. mit dem
> Verständis dieser Folgerung aufbessern möchte *g*),
> verstehe ich nicht, wieso das Integral dieser Diffform über
> den Rand von A f(b)-f(a) ist.
Also du inetgreist die 0-Form [m]f[/m] über den Rand - ist das soweit klar? (Aus der 0-Form f machst du die 1-Form [m]\frac{\partial{f}}{\partial x} \mbox{d}x[/m]). Jetzt muss man f auf den Rand eingeschränkt integrieren. Per Definition (mehr oder weniger - Zählmaß) ist das dann die Summe (da der Rand 0 dimensional ist) der Werte, die f auf dem rand annimmt - allerdings versehen mit einem Vorzeichen durch die Orientierung. b als rechte Grenze ist positv orientiert im Vergleich zum Modellraum (der Halbrum geht normalerweise auch nach links weg), den linken rand muss man umdrehen, also verkehrt orientiert, daher das Minus. Et voila.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:57 Do 23.03.2006 | | Autor: | self |
ok, prima .. damit wird's wesentlich klarer. Vielen Dank!
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