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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:25 So 17.08.2008 | | Autor: | UE_86 |
| Aufgabe | | Man begründe mit dem Folgensatz der Stetigkeit, dass f(x) = [mm] x^{3} [/mm] auf [mm] \IR [/mm] stetig ist. |
Hallo,
also das f(x) = [mm] x^{3} [/mm] stetig ist, dass weiß ich wohl auch noch.
Aber ich kann mit dem "Folgensatz der Stetigkeit" nichts anfangen, bzw. weiß nicht, was damit gemeint ist.
Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen?
Vielen Dank
UE
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> Man begründe mit dem Folgensatz der Stetigkeit, dass f(x)
> = [mm]x^{3}[/mm] auf [mm]\IR[/mm] stetig ist.
> Hallo,
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> also das f(x) = [mm]x^{3}[/mm] stetig ist, dass weiß ich wohl auch
> noch.
> Aber ich kann mit dem "Folgensatz der Stetigkeit" nichts
> anfangen, bzw. weiß nicht, was damit gemeint ist.
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> Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen?
Ich vermute, dass damit gemeint ist: Eine (reelle) Funktion $f$ ist genau dann stetig an der Stelle $x$ ihres Definitionsbereiches, wenn für alle gegen $x$ konvergenten Folgen [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] aus dem Definitionsbereich von $f$ gilt: [mm] $\lim_{n\rightarrow \infty}f(x_n)=f(x)$.
[/mm]
Zum Beweis der Stetigkeit von $f(x) := [mm] x^3$ [/mm] für alle [mm] $x\in\IR$ [/mm] müssest Du also zeigen, dass für eine beliebige reelle Zahlenfolge aus [mm] $\IR$ [/mm] mit [mm] $\lim_{n\rightarrow \infty}x_n=x$ [/mm] gilt [mm] $\lim_{n\rightarrow \infty}f(x_n)=f(x)$ [/mm] d.h. [mm] $\lim_{n\rightarrow\infty} x_n^3=x^3$.
[/mm]
Im Grunde musst Du also zeigen, dass aus [mm] $\lim_{n\rightarrow \infty}x_n=x$ [/mm] folgt:
[mm]|x^3-x_n^3|\longrightarrow 0, \text{ für $n\rightarrow \infty$}[/mm]
Um dies zu zeigen ist es nützlich sich daran zu erinnern, dass [mm] $a^3-b^3=(a-b)\cdot (a^2+ab+b^2)$.
[/mm]
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