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Folgenraum nicht separabel: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:39 Sa 02.10.2010
Autor: Amande

Hey ihr :)

Ich versuche gerade zu zeigen bzw. den Beweis zu verstehen, dass der Folgenraum der beschränkten Folgen [mm]l^{\infty}=\{(x_k): \summe_{k=1}^{\infty} |x_k| < \infty\}[/mm][mm] [/mm][mm][/mm]nicht separabel ist.


Angenommen [mm]l^\infty[/mm] wäre separabel, dann existiert eine abzählbare dichte Teilmenge  [mm]\{a_n:n \in \IN\}[/mm]



Für den Beweis verwendet man die Potenzmenge [mm]\IP(\IN)=\{M\subset\IN\}[/mm] und betrachtet die charakteristische Funktion: [mm]\chi_M (n) =\begin{cases} 1, & \mbox{fuer } n \in M \\ 0, & sonst \end{cases}[/mm]

Dann wird behauptet: In der 1/4-Umgebung jedes [mm]a_n[/mm]liegt höchstens ein [mm]\chi_M (n)[/mm] drin.
(Da der Abstand zwischen [mm]\chi_M (n)[/mm] und [mm]\chi_N (n)[/mm]  für zwei Elemente M,N der Potenzmenge in der Supremumsnorm 1 ist, lässt sich diese Behauptung leicht beweisen.)

Mir ist jedoch nicht klar, was mir diese Behauptung bringt, wenn ich die Separabilität von [mm]l^\infty[/mm] zeigen will. Wo ist da der Zusammenhang?

Irgendwo hab ich noch gelesen, dass [mm]l^\infty = \bigcup \bruch{1}{4}-Umgebungen(a_n)[/mm][mm][/mm] gilt. Das hilft mir allerdings auch nicht viel weiter..

Vielleicht kann mir jemand beim Verstehen helfen?
Das wär klasse :)

Grüße,
Mandy




        
Bezug
Folgenraum nicht separabel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:55 Sa 02.10.2010
Autor: felixf

Moin!

> Ich versuche gerade zu zeigen bzw. den Beweis zu verstehen,
> dass der Folgenraum der beschränkten Folgen
> [mm]l^{\infty}=\{(x_k): \summe_{k=1}^{\infty} |x_k| < \infty\}[/mm][mm] [/mm][mm][/mm]nicht
> separabel ist.

Diese Menge ist aber nicht [mm] $\ell^\infty$, [/mm] sondern [mm] $\ell^1$. [/mm] Du meinst aber schon [mm] $\ell^\infty$, [/mm] oder?

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Folgenraum nicht separabel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:53 Sa 02.10.2010
Autor: Amande

Sorry - ja, mein [mm]l^\infty=\{x: sup|x_i|< \infty\} [/mm] die beschränkten Folgen.


Bezug
        
Bezug
Folgenraum nicht separabel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:09 So 03.10.2010
Autor: fred97


> Hey ihr :)
>  
> Ich versuche gerade zu zeigen bzw. den Beweis zu verstehen,
> dass der Folgenraum der beschränkten Folgen
> [mm]l^{\infty}=\{(x_k): \summe_{k=1}^{\infty} |x_k| < \infty\}[/mm][mm] [/mm][mm][/mm]nicht
> separabel ist.
>  
>
> Angenommen [mm]l^\infty[/mm] wäre separabel, dann existiert eine
> abzählbare dichte Teilmenge  [mm]\{a_n:n \in \IN\}[/mm]
>
>
>
> Für den Beweis verwendet man die Potenzmenge
> [mm]\IP(\IN)=\{M\subset\IN\}[/mm] und betrachtet die
> charakteristische Funktion: [mm]\chi_M (n) =\begin{cases} 1, & \mbox{fuer } n \in M \\ 0, & sonst \end{cases}[/mm]
>  
> Dann wird behauptet: In der 1/4-Umgebung jedes [mm]a_n[/mm]liegt
> höchstens ein [mm]\chi_M (n)[/mm] drin.
> (Da der Abstand zwischen [mm]\chi_M (n)[/mm] und [mm]\chi_N (n)[/mm]  für
> zwei Elemente M,N der Potenzmenge in der Supremumsnorm 1
> ist, lässt sich diese Behauptung leicht beweisen.)
>  
> Mir ist jedoch nicht klar, was mir diese Behauptung bringt,
> wenn ich die Separabilität von [mm]l^\infty[/mm] zeigen will. Wo
> ist da der Zusammenhang?
>  
> Irgendwo hab ich noch gelesen, dass [mm]l^\infty = \bigcup \bruch{1}{4}-Umgebungen(a_n)[/mm][mm][/mm]
> gilt. Das hilft mir allerdings auch nicht viel weiter..



Doch das hilft. Da  $ [mm] \{a_n:n \in \IN\} [/mm] $ dicht liegt, lässt sich [mm] l^\infty [/mm] wie oben darstellen.


Dir ist sicherbekannt, dass [mm] \IP(\IN) [/mm] eine größere Mächtigkeit hat als [mm] \IN [/mm]

Weiter hat hat [mm] \{\chi_M: M \in \IP(\IN) \} [/mm] die gleiche Mächtigkeit wie  [mm] \IP(\IN) [/mm]

Wegen [mm]\{\chi_M: M \in \IP(\IN) \} \subseteq l^\infty = \bigcup \bruch{1}{4}-Umgebungen(a_n)[/mm][mm][/mm]

hat [mm] \{\chi_M: M \in \IP(\IN) \} [/mm] aber höchstens die Mächtigkeit von [mm] \IN [/mm]

Widerspruch

FRED

>  
> Vielleicht kann mir jemand beim Verstehen helfen?
>  Das wär klasse :)
>  
> Grüße,
>  Mandy
>  
>
>  


Bezug
                
Bezug
Folgenraum nicht separabel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:41 Mo 04.10.2010
Autor: Amande


Guten Abend!

Danke schonmal für die schnelle Antwort - hat mich schon ein ganzen Stück weitergebracht :)

Was mir jetzt allerdings noch nicht ganz klar ist, ist: wie kann ich [mm]\chi_M[/mm] als Folge in [mm]l^\infty[/mm] betrachten? Sieht die Folge z.B. so aus:
[mm]M=\{1,2,3\} [/mm]    [mm]\chi_M=(\chi_M(1),\chi_M(2),\chi_M(3),\chi_M(4),....)=(1,1,1,0,0,0)[/mm]


Und noch eine kleine Frage:
Wie kann ich die Gleichheit von [mm]l^\infty =\bigcup_{}^{} \bruch{1}{4}-Umgebungen [/mm] zeigen?

Danke + einen schönen Abend!
Mandy



Bezug
                        
Bezug
Folgenraum nicht separabel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:09 Di 05.10.2010
Autor: fred97


>
> Guten Abend!
>  
> Danke schonmal für die schnelle Antwort - hat mich schon
> ein ganzen Stück weitergebracht :)
>  
> Was mir jetzt allerdings noch nicht ganz klar ist, ist: wie
> kann ich [mm]\chi_M[/mm] als Folge in [mm]l^\infty[/mm] betrachten? Sieht die
> Folge z.B. so aus:
>  [mm]M=\{1,2,3\} [/mm]    
> [mm]\chi_M=(\chi_M(1),\chi_M(2),\chi_M(3),\chi_M(4),....)=(1,1,1,0,0,0)[/mm]


   Genau !

>  
>
> Und noch eine kleine Frage:
>  Wie kann ich die Gleichheit von [mm]l^\infty =\bigcup_{}^{} \bruch{1}{4}-Umgebungen[/mm]
> zeigen?


Machen wirs allgemein:

Sei )(X,d) ein metrischer Raum und $D:= [mm] \{a_n:n \in \IN\} [/mm] $ eine Teilmenge von X, die dicht in X liegt.

Was heißt das  ?

Es bedeutet: ist x [mm] \in [/mm] X und [mm] \varepsilon> [/mm] 0, so gibt es ein m [mm] \in \IN [/mm] mit : [mm] d(x,a_m)< \varepsilon. [/mm]

Ist z.B. [mm] \varepsilon=1/4, [/mm] so liegt x in der 1/4 _ Umgebung von [mm] a_n [/mm]

FRED

>  
> Danke + einen schönen Abend!
>  Mandy
>  
>  


Bezug
        
Bezug
Folgenraum nicht separabel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:26 Mo 04.10.2010
Autor: fred97

Obiges kann man wie folgt verallgemeinern:

Sei(X,d) ein metrischer Raum und Y eine Teilmenge von X mit der Eigenschaft:

        (1)  d(a,b)=1 für alle a,b [mm] \in [/mm] Y mit a [mm] \ne [/mm] b.

Sei nun X separabel, somit ex. eine Folge [mm] (x_n) [/mm] in X mit

       (2)  [mm] \overline{ \{x_n: n \in \IN \} }=X. [/mm]

Für n [mm] \in \IN [/mm] bez. wir mit  [mm] U_n [/mm]  die Menge [mm] $U_n:= \{x \in X: d(x,x_n) <1/4 \}$. [/mm] Wegen (2) gilt

       (3) $Y [mm] \subseteq [/mm] X= [mm] \bigcup_{n=1}^{\infty}U_n$. [/mm]

Seien nun a,b [mm] \in [/mm] Y mit a,b [mm] \in U_n. [/mm] Dann

        $d(a,b) [mm] \le d(a,x_n)+d(x_n, [/mm] b) < 1/4+1/4=1/2$.

Aus (1) folgt a=b.

Jedes [mm] U_n [/mm] enthält also höchstens ein Element aus Y. Aus (3) folgt dann:

           Y ist höchstens abzählbar.



Enthält also ein metr. Raum eine überabzählbare Teilmenge mit der Eig. (1), so kann dieser metr. Raum nicht separabel sein.

FRED

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