Folgenkonvergenz mit Kriterien < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:43 Fr 21.11.2014 | | Autor: | lukasana |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(n/(n^3-2) [/mm] |
Als Ansatz habe ich das Quotientenkriterium genommen. Ich komme auf das Zwischenergebnis [mm] \bruch{n+1}{(n+1)^3-2}*\bruch{n^3-2}{n}.
[/mm]
Damit Konvergenz gezeigt werden kann muss der Betrag dieses Thermes kleiner 1 sein. Für mich ist dies auch aus der weiteren Umformung zu [mm] \bruch{n^4+n^3-2n-2}{n^4+3n^3+3n^2+n-2n} [/mm] schlüssig. Allerdings denke ich nicht, dass dies die
geschickteste Form ist. Gibt es da Verbesserungsmöglichkeiten?
Ich habe auch versucht durch ausklammern von [mm] n^4 [/mm] das übersichtlicher zu gestalten, hat jedoch nicht viel geholfen..
Mit freundlichen Grüßen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:10 Fr 21.11.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
kürze die Summanden durch n, dann solltest du durch abschätzen eine konvergente Majorante leicht finden, das Quotientekriterium nutz hier nichts weil der GW 01 und nicht <1 ist.
Gruß leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:32 Fr 21.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(n/(n^3-2)[/mm]
>
> Als Ansatz habe ich das Quotientenkriterium genommen. Ich
> komme auf das Zwischenergebnis
> [mm]\bruch{n+1}{(n+1)^3-2}*\bruch{n^3-2}{n}.[/mm]
>
> Damit Konvergenz gezeigt werden kann muss der Betrag dieses
> Thermes kleiner 1 sein.
nein, Du müsstest zeigen, dass es ein $0 [mm] \le [/mm] q < 1$ gibt, so dass der Betrag stets
[mm] $\le$ $q\,$ [/mm] ist.
Was ist der Unterschied? Naja, wende mal das QK auf die divergente Reihe
[mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$
[/mm]
an. Was fällt Dir auf?
Ansonsten: Du kannst Dir mal
[mm] $\lim_{n \to \infty} \frac{n/(n^3-2)}{1/n^2}$
[/mm]
angucken - eine Idee, was das bringen könnte?
Oder Du schätzt ab
[mm] $\frac{n}{n^3-2}$ $\le$ $2*\frac{1}{n^2}$ [/mm] für $n [mm] \ge [/mm] 2$ (das Bedarf eines Beweises!)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:37 Fr 21.11.2014 | | Autor: | Thomas_Aut |
> Hallo,
>
> > Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz:
> >
> > [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(n/(n^3-2)[/mm]
> >
> > Als Ansatz habe ich das Quotientenkriterium genommen. Ich
> > komme auf das Zwischenergebnis
> > [mm]\bruch{n+1}{(n+1)^3-2}*\bruch{n^3-2}{n}.[/mm]
> >
> > Damit Konvergenz gezeigt werden kann muss der Betrag dieses
> > Thermes kleiner 1 sein.
>
> nein, Du müsstest zeigen, dass es ein [mm]0 \le q < 1[/mm] gibt, so
> dass der Betrag stets
> [mm]\le[/mm] [mm]q\,[/mm] ist.
Ergänzend:
Oder du siehst dir den limsup an
also:
$ [mm] \limsup_{n\rightarrow\infty} \bigl| \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \bigl| [/mm] < 1$ - dies liefert auch abs. Konvergenz
Lg Thomas
>
> Was ist der Unterschied? Naja, wende mal das QK auf die
> divergente Reihe
>
> [mm]\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}[/mm]
>
> an. Was fällt Dir auf?
>
> Ansonsten: Du kannst Dir mal
>
> [mm]\lim_{n \to \infty} \frac{n/(n^3-2)}{1/n^2}[/mm]
>
> angucken - eine Idee, was das bringen könnte?
>
> Oder Du schätzt ab
>
> [mm]\frac{n}{n^3-2}[/mm] [mm]\le[/mm] [mm]2*\frac{1}{n^2}[/mm] für [mm]n \ge 2[/mm] (das
> Bedarf eines Beweises!)
>
> Gruß,
> Marcel
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