Folgenkompakt < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:57 Sa 02.02.2008 | | Autor: | hundert |
| Aufgabe | | Seine M,N metrische Räume und F:M->N stetig. Zeigen sie, dass für jede folgenkompakte Menge K [mm] \subset [/mm] M die Menge [mm] L=im(F|_K) [/mm] folgenkompakt ist |
folgenkompakt bedeutet ja, dass jede folge eine konvergente teilfolge besitzt. jetzt weiß ich aber nicht wie ich damit argumentieren soll und lieg ich erstmal recht in d er annahme, dass [mm] im(F|_k) [/mm] das im für image steht, also das bild von der funktion F eingeschränkt auf die folgenkompate teilmege k
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> Seine M,N metrische Räume und F:M->N stetig. Zeigen sie,
> dass für jede folgenkompakte Menge K [mm]\subset[/mm] M die Menge
> [mm]L=im(F|_K)[/mm] folgenkompakt ist
> folgenkompakt bedeutet ja, dass jede folge eine
> konvergente teilfolge besitzt. jetzt weiß ich aber nicht
> wie ich damit argumentieren soll und lieg ich erstmal recht
> in d er annahme, dass [mm]im(F|_k)[/mm] das im für image steht,
> also das bild von der funktion F eingeschränkt auf die
> folgenkompate teilmege K
Ja, dies lese sich genau so.
Nun gehst Du einfach davon aus, dass eine beliebige Folge aus $L$ gegeben ist, also eine Folge [mm] $(f(x_n))_{n\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $x_n\in [/mm] K$. Deine Aufgabe ist es dann, eine konvergente Teilfolge von [mm] $(f(x_n))_{n\in\IN}$ [/mm] nachzuweisen. Na, da wirst Du wohl über die Folgenkompaktheit von $K$ gehen (die [mm] $x_n$ [/mm] sind ja aus $K$) und zusätzlich die Stetigkeit von $F$ verwenden, um zu zeigen, dass das Bild des Limes der Teilfolge der [mm] $x_n$ [/mm] der Limes ihrer Bilder unter $F$ ist.
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