Folgengrenzwert E-n-Beweis < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:31 Mo 23.02.2009 | | Autor: | Hanz |
Huhu, nochmal ich :p
Gegeben sei die Folge [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{\vektor{n \\ 3}}{n³} [/mm] mit n [mm] \ge [/mm] 3. Bestimme den Grenzwert der Folge mit Rechenregeln für Grenzwerte und beweise die Konvergenz der Folge anschließend mit einem [mm] \varepsilon-n_0-Beweis.
[/mm]
Also mit den Rechenregeln für Grenzwerte habe ich weniger Probleme, habe a = [mm] \bruch{1}{6} [/mm] als Grenzwert berechnet.
Nun bereitet mit der $ [mm] \varepsilon-n_0-Beweis [/mm] $ deutlich mehr kopfzerbrechen, denn ich weiss nicht, wie man hier am besten umformen sollte. Es beginnt ja mit...
... [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists n_0: ||a_n [/mm] - a|| < [mm] \varepsilon, \forall [/mm] n [mm] \ge n_0
[/mm]
||$ [mm] \bruch{\vektor{n \\ 3}}{n³} [/mm] $ - [mm] \bruch{1}{6}|| [/mm] ... so nun weiss ich net wie ich weiter umformen sollte...
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Hallo Hanz,
> Huhu, nochmal ich :p
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> Gegeben sei die Folge [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{\vektor{n \\ 3}}{n³}[/mm] mit
> n [mm]\ge[/mm] 3. Bestimme den Grenzwert der Folge mit Rechenregeln
> für Grenzwerte und beweise die Konvergenz der Folge
> anschließend mit einem [mm]\varepsilon-n_0-Beweis.[/mm]
>
> Also mit den Rechenregeln für Grenzwerte habe ich weniger
> Probleme, habe a = [mm]\bruch{1}{6}[/mm] als Grenzwert berechnet. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Nun bereitet mit der [mm]\varepsilon-n_0-Beweis[/mm] deutlich mehr
> kopfzerbrechen, denn ich weiss nicht, wie man hier am
> besten umformen sollte. Es beginnt ja mit...
>
> ... [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists n_0: ||a_n[/mm] - a|| <
> [mm]\varepsilon, \forall[/mm] n [mm]\ge n_0[/mm]
>
> ||[mm] \bruch{\vektor{n \\ 3}}{n³}[/mm] - [mm]\bruch{1}{6}||[/mm] ... so nun
> weiss ich net wie ich weiter umformen sollte...
Na, benutze die Definition des Binomialkoeffizienten: [mm] $\vektor{n\\3}=\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}=\frac{n^3-3n^2+2n}{6}$
[/mm]
Also [mm] $\left|\frac{\vektor{n\\3}}{n^3}-\frac{1}{6}\right|=\left|\frac{n^3-3n^2+2n}{6n^3}-\frac{1}{6}\right|$
[/mm]
Das nun gleichnamig machen, dann in einer Nebenrechnung nach oben abschätzen; zum Vergrößern des Bruches kannst du den Zähler vergrößern und/oder den Nenner verkleinern.
So kannst du das gesuchte [mm] $n_0$ [/mm] konstruieren.
Nachher dann sauber aufschreiben: Sei [mm] $\varepsilon>0$, [/mm] wähle [mm] $n_0:=....$, [/mm] dann gilt für alle [mm] $n\ge n_0$: [/mm] (die Abschätzungskette) [mm] $...<\varepsilon$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:06 Mo 23.02.2009 | | Autor: | statler |
Hi!
> Also
> [mm]\left|\frac{\vektor{n\\3}}{n^3}-\frac{1}{6}\right|=\left|\frac{n^3-3n^2+2n}{6n^3}-\frac{1}{6}\right|[/mm]
>
> Das nun gleichnamig machen, dann in einer Nebenrechnung
> nach oben abschätzen; zum Vergrößern des Bruches kannst du
> den Zähler vergrößern und/oder den Nenner verkleinern.
Oder mittels Dreiecksungleichung in 2 Summanden zerlegen und beide kleiner als [mm] \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] machen.
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 Mo 23.02.2009 | | Autor: | Hanz |
... so ungefähr?
$ [mm] \left|\frac{\vektor{n\\3}}{n^3}-\frac{1}{6}\right|=\left|\frac{n^3-3n^2+2n}{6n^3}-\frac{1}{6}\right| [/mm] $ = [mm] \left|\frac{n^3-3n^2+2n}{6n^3}-\frac{n³}{6n³}\right| [/mm] = [mm] \left|\frac{n^3-3n^2+2n-n³}{6n^3}\right| [/mm] = [mm] \left|\frac{-3n^2+2n}{6n^3}\right| \le \left|\frac{-3n^2+2n²}{6n³}\right| [/mm] = [mm] \left|\frac{-n²}{6n^3}\right| [/mm] = [mm] \left|\frac{1}{6n}\right| [/mm] = [mm] \bruch{1}{6n} \le \bruch{1}{6n_0} \le \varepsilon
[/mm]
Ist das bis hierhin so legitim?
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Hallo Hanz!
Die Umformungen / Abschätzungen sehen legitim aus. Allerdings muss es ganz am Ende $... \ [mm] \red{<} [/mm] \ [mm] \varepsilon$ [/mm] heißen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 21:40 Mo 23.02.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Roadrunner,
"fundamental" ist gleich ein bisschen wuchtig, aber immerhin hängt ja die Lösung der Aufgabe davon ab. Die Abschätzungskette hat in der Tat einen wesentlichen Fehler, siehe meine gerade abgesandte und im Zusammenhang folgende Nachricht. Ohne Betragsstriche würde es stimmen, mit aber nicht.
Grüße,
reverend
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Hallo Hanz,
da muss ich dem Roadrunner (pardon, hatte gerade einen anderen Thread im Kopf) widersprechen: das stimmt so nicht!
> [mm]\left|\frac{\vektor{n\\3}}{n^3}-\frac{1}{6}\right|=\left|\frac{n^3-3n^2+2n}{6n^3}-\frac{1}{6}\right|[/mm] = [mm]\left|\frac{n^3-3n^2+2n}{6n^3}-\frac{n³}{6n³}\right|[/mm] = [mm]\left|\frac{n^3-3n^2+2n-n³}{6n^3}\right|[/mm] =
> [mm]=\left|\frac{-3n^2+2n}{6n^3}\right| \red{\le} \left|\frac{-3n^2+2n²}{6n³}\right|[/mm]
An der rot markierten Stelle stimmt es nicht! Für alle [mm] n\in\IN [/mm] gilt da ein [mm] \blue{\ge} [/mm] !!
Ab hier gehst Du daher von einer falschen Voraussetzung aus:
> = [mm]\left|\frac{-n²}{6n^3}\right|[/mm] = [mm]\left|\frac{1}{6n}\right|[/mm] = [mm]\bruch{1}{6n} \le \bruch{1}{6n_0} \le \varepsilon[/mm]
>
> Ist das bis hierhin so legitim?
Fazit: Nein.
Grüße,
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:43 Mo 02.03.2009 | | Autor: | Hanz |
> > [mm]=\left|\frac{-3n^2+2n}{6n^3}\right| \red{\le} \left|\frac{-3n^2+2n²}{6n³}\right|[/mm]
>
> An der rot markierten Stelle stimmt es nicht! Für alle
> [mm]n\in\IN[/mm] gilt da ein [mm]\blue{\ge}[/mm] !!
Von der Logik her ist es mir irgendwie noch nicht ganz klar, warum diese Abschätzung falsch ist...
Könnte mir das jemand erklären?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:52 Mo 02.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> > > [mm]=\left|\frac{-3n^2+2n}{6n^3}\right| \red{\le} \left|\frac{-3n^2+2n²}{6n³}\right|[/mm]
Diese Ungleichung ist schon für n = 2 falsch
FRED
> >
> > An der rot markierten Stelle stimmt es nicht! Für alle
> > [mm]n\in\IN[/mm] gilt da ein [mm]\blue{\ge}[/mm] !!
>
>
> Von der Logik her ist es mir irgendwie noch nicht ganz
> klar, warum diese Abschätzung falsch ist...
>
> Könnte mir das jemand erklären?
>
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Hallo Hanz,
du kannst die Chose retten, wenn du - wie reverend schon angedeutet hat - zuerst die Betragstriche auflöst
[mm] $\left|\frac{-3n^2+2n}{6n^3}\right|=\left|\frac{(-1)\cdot{}(3n^2-2n)}{6n^3}\right|=\left|\frac{3n^2-2n}{6n^3}\right|$
[/mm]
Nun ist [mm] $3n^2-2n>0$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$, [/mm] wovon du dich zB. durch Ausklammern von $3n$ (oder gar [mm] $3n^2$) [/mm] leicht überzeugen kannst.
Also [mm] $\left|\frac{3n^2-2n}{6n^3}\right|=\frac{3n^2-2n}{6n^3}$
[/mm]
Nun vergrößere "einfach" den Zähler um 2n 
LG
schachuzipus
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Hallo Hanz,
oder so:
[mm] \left|\bruch{\vektor{n\\3}}{n^3}-\bruch{1}{6}\right|=\left|\bruch{1}{6}*\bruch{n}{n}*\bruch{n-1}{n}*\bruch{n-2}{n}-\bruch{1}{6}\right|=\bruch{1}{6}*\left|\left(1-\bruch{1}{n}\right)\left(1-\bruch{2}{n}\right)-1\right|=\bruch{1}{6}\left|\bruch{2}{n^2}-\bruch{3}{n}\right|=\bruch{1}{6n}\left(3-\bruch{2}{n}\right)
[/mm]
Jetzt hast Du wohl die Qual der Wahl...
Grüße,
reverend
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