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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:49 Sa 02.11.2013 | | Autor: | Herbart |
Hallo,
ich bitte um eine kurze Bestätigung oder Falsifizierung:
Seien [mm] $[a,b[\in \IR$, [/mm] Folge [mm] $[a,b[=[a_1,b_1[\supseteq[a_2,b_2[\supseteq[a_3,b_3[\supseteq [/mm] ...$ und [mm] $A_n=[a_1,b_1[\cap[a_2,b_2[\cap[a_3,b_3[\cap ...\cap[a_n,b_n[$.
[/mm]
Ist dann nicht schon [mm] A_n=[a_n,b_n[ [/mm] ?
Im Prinzip werden die Intervalle ja immer kleiner.
MfG Herbart
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:09 Sa 02.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> ich bitte um eine kurze Bestätigung oder Falsifizierung:
> Seien [mm][a,b[\in \IR[/mm]
autsch, da sollte $[a,b[ [mm] \;\red{\subseteq}\;\IR$ [/mm] stehen!
> , Folge
> [mm][a,b[=[a_1,b_1[\supseteq[a_2,b_2[\supseteq[a_3,b_3[\supseteq ...[/mm]
??? Was ist das denn für ein Unsinn, dass $[a,b[=...$ sein soll? Und wieso soll
ein Intervall eine Folge von Intervallen sein? Das macht keinen Sinn!
Okay, was sein kann, ist dass [mm] $[a_1,b_1[\;:=\;[a,b[$ [/mm] sein soll und dass die Folge
[mm] $([a_k,b_k[)_{k=1}^\infty$ [/mm] die "fallende" Intervallfolge bezeichnen soll. Aber
besonders schön ist das oben nicht notiert, wenn das so gemeint ist (und
das ist für mich eigentlich die einzige sinnvolle Interpretation dessen, was
da gesagt wird).
> und [mm]A_n=[a_1,b_1[\cap[a_2,b_2[\cap[a_3,b_3[\cap ...\cap[a_n,b_n[[/mm].
>
> Ist dann nicht schon [mm]A_n=[a_n,b_n[[/mm] ?
> Im Prinzip werden die Intervalle ja immer kleiner.
Naja, Du behauptest, dass [mm] $A_n:=\bigcap_{k=1}^n [a_k,b_k[\;\stackrel{!}{=}\;[a_n,b_n[$ [/mm] gilt.
Beweise es doch einfach:
[mm] $\underbrace{\bigcap_{k=1}^n [a_k,b_k[}_{=A_n}\; \subseteq\;[a_n,b_n[$ [/mm]
ist ja schonmal klar.
Zur anderen Teilmengenbeziehung:
Sei nun also $x [mm] \in [a_n,b_n[$ [/mm] beliebig. Dann folgt aus
$x [mm] \in [a_n,b_n[ \;\subseteq\;[a_{n-1},b_{n-1}[\;\subseteq\;[a_{n-2},b_{n-2}[\;\subseteq\;\ldots\;\subseteq\;[a_1,b_1[$
[/mm]
auch $x [mm] \in [a_k,b_k[$ [/mm] für alle [mm] $k=1,...,n\,.$
[/mm]
Daher ergibt sich...
Aber ich würde Dich erstmal bitten, auch nochmal zu prüfen, ob Du das
hier wirklich alles richtig wiedergegeben hast!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:24 Sa 02.11.2013 | | Autor: | Herbart |
Tut mir Leid bzgl. der Notation. Da habe ich etwas schlampig gearbeitet. Aber du hast gut geraten 
Und bzgl. des Beweises danke ich dir. Beide Implikationen zu beweisen ist natürlich meist eine gute Idee.
> Zur anderen Teilmengenbeziehung:
> Sei nun also [mm]x \in [a_n,b_n[[/mm] beliebig. Dann folgt aus
>
> [mm]x \in [a_n,b_n[ \;\subseteq\;[a_{n-1},b_{n-1}[\;\subseteq\;[a_{n-2},b_{n-2}[\;\subseteq\;\ldots\;\subseteq\;[a_1,b_1[[/mm]
>
> auch [mm]x \in [a_k,b_k[[/mm] für alle [mm]k=1,...,n\,.[/mm]
>
> Daher ergibt sich...
[mm] "\supseteq" [/mm] und damit die Behauptung.
Danke!
MfG Herbart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:48 Sa 02.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Tut mir Leid bzgl. der Notation. Da habe ich etwas
> schlampig gearbeitet.
was aber nicht unüblich ist - ich denke, in manchem Lehrbuch könnte es
genauso stehen (abgesehen von dem [mm] $\in$-Fehler).
[/mm]
> Aber du hast gut geraten
> Und bzgl. des Beweises danke ich dir. Beide Implikationen
> zu beweisen ist natürlich meist eine gute Idee.
Das sollte man immer im Hinterkopf haben, wenn irgendwo eine
Mengengleichheit behauptet wird: Wie beweist man sowas?
> > Zur anderen Teilmengenbeziehung:
> > Sei nun also [mm]x \in [a_n,b_n[[/mm] beliebig. Dann folgt aus
> >
> > [mm]x \in [a_n,b_n[ \;\subseteq\;[a_{n-1},b_{n-1}[\;\subseteq\;[a_{n-2},b_{n-2}[\;\subseteq\;\ldots\;\subseteq\;[a_1,b_1[[/mm]
>
> >
> > auch [mm]x \in [a_k,b_k[[/mm] für alle [mm]k=1,...,n\,.[/mm]
> >
> > Daher ergibt sich...
> [mm]"\supseteq"[/mm] und damit die Behauptung.
Ich hätte noch:
$x [mm] \in \bigcap_{k=1}^n [a_kb_k[\,,$
[/mm]
also $x [mm] \in A_n$
[/mm]
ergänzt. (Aber viele spielen das einfach auch im Kopf durch und schreiben es halt
nicht mehr hin, was auch okay ist!)
> Danke!
Klar, gerne! 
Gruß,
Marcel
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