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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:42 Mi 12.12.2007 | | Autor: | Maxim |
| Aufgabe 1 | Sei (X,d) ein folgenkompakter metrischer Raum.
Zeige, dass (X,d) vollständig ist. |
| Aufgabe 2 | Seien z [mm] \in \IC, [/mm] n [mm] \in \IN. [/mm] Zeige
[mm] \summe_{k=0}^{n} z^k=\begin{cases} \bruch{1-z^n ^+ ^1}{1-z} ,
& \mbox{falls} z \not= 1 \\ n+1, & \mbox{falls} z = 1\end{cases} [/mm] |
| Aufgabe 3 | Ermittle Limes superior und Limes inferior der angegebenen Folgen:
a.) [mm] a_n=\bruch{1+(-1)^n*n}{2n+(-1)^n}
[/mm]
b.) [mm] a_n=\bruch{n}{3n+(-1)^n*(n-1)} [/mm] |
Hallo,
ich habe hier ein paar Aufgaben, die wir abgeben nüssen um an der Klausur teilnehmen zu können, leider weiß ich nicht, ob meine Lösungen richtig sind deshalb hoffe ich hier auf Hilfe!!!
zu Aufgabe 1.)
Da sollen wir einen Beweis aufschreiben, der 3Punkte verdient, meiner lautet wie folgt:
Sei (X,d) ein folgenkompakter metrischer Raum.
Wir zeigen die Vollständigkeit von (X,d).
Dazu sei [mm] (x_n) [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] eine Cauchyfolge in (X,d).
Diese besitzt aufgrund der Folgenkompaktheit eine konvergente Teilfolge.
Damit konvergiert aber auch [mm] (x_n) [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] und (X,d) ist somit vollständig.
Ich glaube nicht, dass das als Beweis reicht, ich weiß aber auch nicht wie ich es machen soll. Wie soll ich vorgehen?
Aufgabe 2: würde ich mit der vollständigen Induktion machen. Und zwar:
z [mm] \not= [/mm] 1 : Beweis vollst. Ind. über n:
IA: n = 0 [mm] \summe_{k=0}^0 z^k [/mm] = 1 = [mm] \bruch{1}{1} [/mm] = [mm] \bruch{1-z}{1-z} [/mm] = [mm] \bruch{1-z^0 ^+ ^1}{1-z}
[/mm]
IV: Es gelte [mm] \summe_{k=0}^n z^k [/mm] = [mm] \bruch {1-z^n ^+ ^1}{1-z} [/mm] f.a. n [mm] \in \IN
[/mm]
IS: n [mm] \to [/mm] n+1
[mm] \summe_{k=0}^{n+1} z^k [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^n z^k [/mm] + [mm] z^n^+^1 [/mm] =(IV) [mm] \bruch{1-z^n ^+ ^1}{1-z} [/mm] + [mm] z^n^+^1 [/mm] = [mm] \bruch{1-z^( ^n ^+ ^1 ^) ^+ ^1}{1-z} [/mm] Beweisende
noch zu Zeigen:
z = 1: [mm] \summe_{k=0}^n 1^k [/mm] = n+1 mit vollst. Ind. über n
IA: n = 0: [mm] \summe_{k=0}^0 1^k [/mm] = 1 = 0+1
IV: Es gelte [mm] \summe_ {k=0}^n 1^k [/mm] = n*1 f.a.
IS: n [mm] \to [/mm] n+1
[mm] \summe_{k=0}^{n+1} 1^k [/mm] = [mm] \summ_{k=0}^n 1^k [/mm] + [mm] 1^n^+^1 [/mm] = (IV)
= [mm] n+1+1^n^+^1 [/mm] = n+1+1 = (n+1)+1 Beweisende
Aufgabe 3:
Ermittle Limes Inf und Sup
a.) [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{1+n*(-1)^n}{2n+(-1)^n}
[/mm]
Teilfolgen:
n = 2k (gerade) [mm] a_2_k [/mm] = [mm] \bruch{1+n*(+1)}{2n+1} \to \bruch{1+n}{2n+1} \to \bruch{n(1)}{n(2)} \to \bruch [/mm] {1}{2} [mm] a_2_*_k \to [/mm] 1/2
n = 2k+1 (ungerade) [mm] a_2_k_+_1 [/mm] = [mm] \bruch{1 +n*(-1)}{2n +(-1)} \to \bruch{1-n}{2n - 1} \to [/mm] -1/2
limsup [mm] a_n [/mm] = 1/2, liminf [mm] a_n [/mm] = 1/2
b.) analog.
lim sup [mm] a_n [/mm] = 1/2, lim inf [mm] a_n [/mm] 1/4
Vielen Dank für die Hilfe!
Ich habe Diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:46 Mi 12.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Maxim!
Bei Aufgabe 3 habe ich dieselben Ergebnisse erhalten.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:02 Mi 12.12.2007 | | Autor: | Maxim |
Hallo Loddar,
erst einmal vielen Dank, dass Du dich so schnell um meine Aufgabe kümmerst.
Das ist ja schon mal nicht schlecht zu hören, dass dies schon mal stimmt.
Das Problem wird wohl die Aufgabe 1 werden, hoffe du hast zu der Aufgabe eine Antwort!!
LG Maxim
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Hi,
> Sei (X,d) ein folgenkompakter metrischer Raum.
> Zeige, dass (X,d) vollständig ist.
>
> Seien z [mm]\in \IC,[/mm] n [mm]\in \IN.[/mm] Zeige
> [mm]\summe_{k=0}^{n} z^k=\begin{cases} \bruch{1-z^n ^+ ^1}{1-z} ,
& \mbox{falls} z \not= 1 \\ n+1, & \mbox{falls} z = 1\end{cases}[/mm]
>
> Ermittle Limes superior und Limes inferior der angegebenen
> Folgen:
>
> a.) [mm]a_n=\bruch{1+(-1)^n*n}{2n+(-1)^n}[/mm]
>
> b.) [mm]a_n=\bruch{n}{3n+(-1)^n*(n-1)}[/mm]
>
> Hallo,
> ich habe hier ein paar Aufgaben, die wir abgeben nüssen um
> an der Klausur teilnehmen zu können, leider weiß ich nicht,
> ob meine Lösungen richtig sind deshalb hoffe ich hier auf
> Hilfe!!!
>
> zu Aufgabe 1.)
> Da sollen wir einen Beweis aufschreiben, der 3Punkte
> verdient, meiner lautet wie folgt:
>
> Sei (X,d) ein folgenkompakter metrischer Raum.
> Wir zeigen die Vollständigkeit von (X,d).
> Dazu sei [mm](x_n)[/mm] n [mm]\in \IN[/mm] eine Cauchyfolge in (X,d).
> Diese besitzt aufgrund der Folgenkompaktheit eine
> konvergente Teilfolge.
> Damit konvergiert aber auch [mm](x_n)[/mm] n [mm]\in \IN[/mm] und (X,d) ist
> somit vollständig.
>
> Ich glaube nicht, dass das als Beweis reicht, ich weiß aber
> auch nicht wie ich es machen soll. Wie soll ich vorgehen?
>
du musst vielleicht ein wenig ausfuehrlicher argumentieren:
du hast eine cauchyfolge [mm] $a_n$ [/mm] in X, zz. [mm] a_n [/mm] konvergiert gegen einen GW a in X.
du faengst richtig an [mm] a_n [/mm] muss eine konvergente teilfolge haben, der grenzwert b dieser TF liegt auch in X. Du musst nun noch argumentieren, dass b der grenzwert der gesamten folge ist, also dass a=b gilt.
ich fuerchte, da musst du mit epsilon-werten hantieren...
du musst also zeigen,dass
[mm] $|b-a_k|$ [/mm] beliebig klein wird. Tip: schreibe diesen betrag als
[mm] $=|b-a_{k_0}+a_{k_0}-a_k|$,
[/mm]
wobei [mm] $a_{k_0}$ [/mm] ein element der konvergenten teilfolge ist.
gruss
matthias
>
> Aufgabe 2: würde ich mit der vollständigen Induktion
> machen. Und zwar:
>
> z [mm]\not=[/mm] 1 : Beweis vollst. Ind. über n:
>
> IA: n = 0 [mm]\summe_{k=0}^0 z^k[/mm] = 1 = [mm]\bruch{1}{1}[/mm] =
> [mm]\bruch{1-z}{1-z}[/mm] = [mm]\bruch{1-z^0 ^+ ^1}{1-z}[/mm]
> IV: Es gelte
> [mm]\summe_{k=0}^n z^k[/mm] = [mm]\bruch {1-z^n ^+ ^1}{1-z}[/mm] f.a. n [mm]\in \IN[/mm]
>
> IS: n [mm]\to[/mm] n+1
> [mm]\summe_{k=0}^{n+1} z^k[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^n z^k[/mm] + [mm]z^n^+^1[/mm]
> =(IV) [mm]\bruch{1-z^n ^+ ^1}{1-z}[/mm] + [mm]z^n^+^1[/mm] = [mm]\bruch{1-z^( ^n ^+ ^1 ^) ^+ ^1}{1-z}[/mm]
> Beweisende
>
> noch zu Zeigen:
> z = 1: [mm]\summe_{k=0}^n 1^k[/mm] = n+1 mit vollst. Ind. über n
> IA: n = 0: [mm]\summe_{k=0}^0 1^k[/mm] = 1 = 0+1
> IV: Es gelte [mm]\summe_ {k=0}^n 1^k[/mm] = n*1 f.a.
> IS: n [mm]\to[/mm] n+1
> [mm]\summe_{k=0}^{n+1} 1^k[/mm] = [mm]\summ_{k=0}^n 1^k[/mm] + [mm]1^n^+^1[/mm] =
> (IV)
> = [mm]n+1+1^n^+^1[/mm] = n+1+1 = (n+1)+1 Beweisende
>
>
> Aufgabe 3:
> Ermittle Limes Inf und Sup
>
> a.) [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{1+n*(-1)^n}{2n+(-1)^n}[/mm]
>
> Teilfolgen:
> n = 2k (gerade) [mm]a_2_k[/mm] = [mm]\bruch{1+n*(+1)}{2n+1} \to \bruch{1+n}{2n+1} \to \bruch{n(1)}{n(2)} \to \bruch[/mm]
> {1}{2} [mm]a_2_*_k \to[/mm] 1/2
>
> n = 2k+1 (ungerade) [mm]a_2_k_+_1[/mm] = [mm]\bruch{1 +n*(-1)}{2n +(-1)} \to \bruch{1-n}{2n - 1} \to[/mm]
> -1/2
> limsup [mm]a_n[/mm] = 1/2, liminf [mm]a_n[/mm] = 1/2
>
> b.) analog.
> lim sup [mm]a_n[/mm] = 1/2, lim inf [mm]a_n[/mm] 1/4
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> Vielen Dank für die Hilfe!
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