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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:50 Do 06.12.2007 | | Autor: | kibard |
| Aufgabe | Für eine beliebige nichtleere, beschränkte Teilmenge M von [mm] \IR [/mm] gilt:
Zu a:=sup M gibt es eine Folge (an) (n element aus [mm] \IN) [/mm] mit an [mm] \in [/mm] M und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] an = a |
Hallo, bei dieser Aufgabe habe ich leichte Schwierigkeiten.Wenn a das supremum von M ist und es eine Folge gibt mit an Element von M und gegen a laufend, dann ist diese Folge an doch eine Teilfolge von a und dann würde diese Behauptung doch stimmen. Aber wenn ich ehrlich bin, bringt mich dieser Satz durcheinander.
Für Hilfe bin ich dankbar.
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> Für eine beliebige nichtleere, beschränkte Teilmenge M von
> [mm]\IR[/mm] gilt:
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> Zu a:=sup M gibt es eine Folge [mm] (a_n) [/mm] (n [mm] \in[/mm] [mm]\IN)[/mm] mit
> [mm] a_n[/mm] [mm]\in[/mm] M und [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] [mm] a_n [/mm] = a
> Hallo, bei dieser Aufgabe habe ich leichte
> Schwierigkeiten.Wenn a das supremum von M ist und es eine
> Folge gibt mit [mm] a_n \in [/mm] M und gegen a laufend, dann
> ist diese Folge [mm] a_n [/mm] doch eine Teilfolge von a
Hallo,
was meinst Du mit "Teilfolge von a"?
a ist keine Folge, sondern eine Zahl. a ist das Supremum v. M, also die kleinste obere Schranke von M.
> diese Behauptung doch stimmen. Aber wenn ich ehrlich bin,
> bringt mich dieser Satz durcheinander.
Du hast also eine Menge M reeller Zahlen (kannst Dir ja irgendeine auf dem Zahlenstrahl einzeichnen), die nach oben beschänkt ist.
a ist nun die kleinst alles oberen Schranken.
Nun unterscheide die beiden Möglichkeiten:
1. [mm] a\in [/mm] M.
Dann ist es soooooooo einfach, eine gegen a konvergierende Folge in M zu finden, daß man fast nicht drauf kommt...
2. [mm] a\not\in [/mm] M
Da M nichtleer, gibt es ein [mm] m\in [/mm] M
Und die Zahl [mm] m_1 [/mm] in der Mitte zwischen a und m, ist die in M, oder nicht?
Und die Zahl [mm] m_2 [/mm] in der Mitte zwischen a und [mm] m_1, [/mm] ist die in M, oder nicht?
-...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:16 Do 06.12.2007 | | Autor: | kibard |
Aber ich dachte a ist sup M, ist a dann nicht Element von M?
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> Aber ich dachte a ist sup M, ist a dann nicht Element von
> M?
Es ist Element von M oder es ist nicht Element von M.
Supremum ist die kleinste obere Schranke.
Vom offenen Intervall ]0,5[ ist das Supremum die 5, obgleich sie nicht drin liegt.
Du verwechselst es wohl mit dem Maximum - welches nicht jede beschränkte Menge hat, s. das offene Intervall.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:23 Do 06.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
nimm M=[0,2) 2 = sup(M) 2 liegt nicht in M
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:45 Do 06.12.2007 | | Autor: | kibard |
Ok, also ich glaub ich hab es verstanden: Es gibt ein a und das ist sup von M, muss aber nicht in M liegen. Dennoch gibt es eine Folge an die trotzdem gegen a konvergiert, unabhängig davon ob das a drin liegt oder nicht!
Aber was müsste in die Frage gebaut werden,dass das nicht mehr der Fall ist?
Danke euch!
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> Aber was müsste in die Frage gebaut werden,dass das nicht
> mehr der Fall ist?
Man könnte das nichtleer streichen...
Gruß v. Angela
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