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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:18 So 21.02.2010 | | Autor: | suxul |
| Aufgabe | 1.a)
zeigen sie dass die reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n\wurzel[n]{3}} [/mm] divergent ist.
b)
prüfen sie die reihe [mm] \summe_{n=2}^{\infty} \{1}{(logn)^n} [/mm] auf konvergenz
C)
untersuchen sie folgende reihen auf konvergenz:
[mm] \summe_{v=1}^{\infty} \bruch{1}{a+vb} [/mm] mit a,b>0
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} n^2 q^n [/mm] mit 0<q<1
[mm] \summe_{v=1}^{\infty} \bruch{x^(2v)}{(1+x^2)^(v-1)} [/mm]
d)
berechne [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{n^2+n+2}-n [/mm] |
halllooooo :)
hab hier paar übungsaufgaben und würd gern eure hilfe in anspruch nehmen :)
also wenn wer [mm] zeit\lust [/mm] hätte wärs echt wunderschön!
a)
hier hätte ich es mit einer div. maiorante probiert?
...< [mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] 1/2n < [mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] 1/n
dies ist die harmonische reihe die bekanntlich divergiert also div. auch die folge
b)
hier komm ich mit dem log nicht zurecht... wie gehe ich hier vor?
c)
hier div. minorante?
> [mm] \summe_{v=1}^{\infty} \bruch{1}{vb} [/mm] > [mm] \summe_{v=1}^{\infty} \bruch{1}{v}
[/mm]
harm. reihe-> div. ?
0<q<1 deutet ja schon auf geometrische reihe hin oder?
ich würde hier aufteilen:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} n^2 [/mm]
diese reihe konvergiert (siehe mein skript^^)
+ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}q^n
[/mm]
dies ist die geometrische reihe und konvergiert auch
(durch die beiden konv. teilfolgen ist alles abgedeckt-> die gegebene reihe konvergiert ebenfalls)
c) hier wäre ein tipp ganz nett :D
d)
ich hab erstmal erweitert so dass die wurzel im zähler weg fällt und komme auf
[mm] \bruch{1+\bruch{2}{n^2}}{\wurzel{n^2+n+2}+n}
[/mm]
wie rechne ich jetz weiter?!?!!?
vielen dank schon mal an alle für alles :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:44 So 21.02.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
a)
Du kannst nur eine konvergente Majorante oder eine divergente Minorante benutzen, etwas anderes gibt es nicht. :)
Aber du hast recht man kann eine divergente Minorante finden. Allerdings nicht direkt $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n} [/mm] $.
z.B. wäre [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{4n} [/mm] eine, da [mm] \bruch{1}{4n}<\bruch{1}{n*\wurzel[n]{3}} [/mm] für alle n>0 ist.
b)
Wurzelkriterium!
c)
Hier kannst du nicht einfach sagen, dass $ [mm] \summe_{v=1}^{\infty} \bruch{1}{bv} [/mm] > [mm] \summe_{v=1}^{\infty} \bruch{1}{v} [/mm] $ gilt. Denn das gilt nur für b<1.
Bei der 2. Reihe hast du aber ein Produkt und keine Summe! Daher kannst du die nicht auseinanderziehen. Und selbst wenn, $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} n^2=1+4+9+16+25+... [/mm] $ konvergiert doch nicht!
Probire hier lieber Quotienten- und/oder Wurzelkriterium. Damit geht das kurz und schmerzlos.
Bei der 3. Reihe würde ich das Quotientenkriterium vorschlagen. Dann kannst du schauen, für welche x die Reihe konvergiert.
d)
Stimmt nicht ganz.
[mm] \wurzel{n^2+n+2}-n=\bruch{n+2}{\wurzel{n^2+n+2}+n}=\bruch{1+\bruch{2}{n}}{\bruch{\wurzel{n^2+n+2}}{n}+1}
[/mm]
Und [mm] \bruch{\wurzel{n^2+n+2}}{n}=\bruch{\wurzel{n^2+n+2}}{\wurzel{n^2}}=\wurzel{\bruch{n^2+n+2}{n^2}}=...
[/mm]
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:40 So 21.02.2010 | | Autor: | suxul |
> Hi!
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> a)
> Du kannst nur eine konvergente Majorante oder eine
> divergente Minorante benutzen, etwas anderes gibt es nicht.
> :)
> Aber du hast recht man kann eine divergente Minorante
> finden. Allerdings nicht direkt
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n} [/mm].
> z.B. wäre
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{4n}[/mm] eine, da
> [mm]\bruch{1}{4n}<\bruch{1}{n*\wurzel[n]{3}}[/mm] für alle n>0
> ist.
ok das ist klar :) sehr gut :)
> b)
> Wurzelkriterium!
also hier ziehe ich die n-te wurzel und erhalte dann 1/log(n). dies ist echt kleiner als 1-> konvergent?
> c)
> Hier kannst du nicht einfach sagen, dass
> [mm]\summe_{v=1}^{\infty} \bruch{1}{bv} > \summe_{v=1}^{\infty} \bruch{1}{v}[/mm]
> gilt. Denn das gilt nur für b<1.
also mach ich bei der ersten das quotientenkriterium. der nenner ist kleiner als der zähler, also ist der ausdruck >1 und die reihe somit divergent?
> Bei der 2. Reihe hast du aber ein Produkt und keine Summe!
> Daher kannst du die nicht auseinanderziehen. Und selbst
> wenn, [mm]\summe_{n=1}^{\infty} n^2=1+4+9+16+25+...[/mm] konvergiert
> doch nicht!
> Probire hier lieber Quotienten- und/oder Wurzelkriterium.
> Damit geht das kurz und schmerzlos.
quotentenkriterium-> im zähler lässt sich alles wegkürzen und im nenner bleibt [mm] (n+1)^2 [/mm] q -> kleiner als 1 und somit konvergent?
> Bei der 3. Reihe würde ich das Quotientenkriterium
> vorschlagen. Dann kannst du schauen, für welche x die
> Reihe konvergiert.
quotientenkrieterium: es kürzt sich alles weg bis auf ein x im zähler. also konvergiert die reihe für alle x element IR?
> d)
is jetz klar danke :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:09 So 21.02.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi nochmal!
b)
Jo. Du kannst dann schreiben, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{log(n)}=0<1 [/mm] ist.
c)
1. Reihe:
Ich würde mit [mm] \summe_{v=1}^{\infty} \bruch{1}{bv} [/mm] minorisieren und dann einfach [mm] \bruch{1}{b} [/mm] aus der Summe ziehen. Dann sieht man am einfachsten, dass das divergiert.
2. Reihe:
Es sollte dann [mm] \bruch{(n+1)^2}{n^2}*q [/mm] stehen bleiben. Und für n [mm] \to \infty [/mm] geht das gegen q, wobei ja 0<q<1 gilt. Konvergiert also.
3. Reihe:
Wie meinst du das, dass sich alles wegkürzt?
Quotientenkriterium:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{\bruch{x^{2v+2}}{(1+x^2)^v}}{\bruch{x^{2v}}{(1+x^2)^{v-1}}}|=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{x^2}{1+x^2} [/mm] und das soll <1 sein. Aber das sieht man auch sofort, dass das für alle x gilt, da der Nenner immer um 1 größer ist also der Zähler. Daher ist die Reihe in der Tat für alle x [mm] \in \IR [/mm] konvergent.
Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:42 So 21.02.2010 | | Autor: | suxul |
teufel is super :D danke
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