Folgen und Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:10 Fr 02.12.2005 | | Autor: | Mitch |
Hey ich hab hier noch ne Aufgabe zu meinem Lieblingsthema "Folgen und Reihen"!  Kann mir jemand helfen?
Sei [mm] \left( a_n\right)_{n\in \IN} [/mm] eine monoton wachsende und beschränkte Folge positiver reeller Zahlen. Eine weiter Folge wird definiert durch [mm] b_n := -1 + \bruch{a_n+1}{a_n} [/mm] . Zeigen Sie, dass die durch Addieren der [mm] b_n [/mm] gebildete Reihe [mm] \sum_{n} b_n [/mm] konvergiert.
Gruß Mitch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:33 Fr 02.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo mitch!
Ist die von Dir genannte Bildungsvorschrift so richtig?
In diesem Fall konvergiert [mm] $\left< b_n \right>$ [/mm] gegen $-1_$ und widerspricht daher dem notwendigen Kriterium für die Konvergenz der entsprechenden Reihe.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:54 Sa 03.12.2005 | | Autor: | Mellen |
Hallo zuammen.
Ich hab dieselbe Aufgabe vor mir liegen und das Problem ist dass bei der Definition von [mm] b_n [/mm] die +1 aus dem Zähler noch zum Index gehört.
Viele Grüße
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:03 Sa 03.12.2005 | | Autor: | Mitch |
Okay, Loddar und Mellen haben Recht. Das habe ich auf dem Aufgabenblatt falsch gelesen...! Sorry!
Also [mm] b_n [/mm] ist folgendermaßen definiert: $ [mm] b_n [/mm] := -1 + [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] $
Hat jetzt jemand eine Idee?
Gruß Mitch
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> Also [mm]b_n[/mm] ist folgendermaßen definiert: [mm]b_n := -1 + \bruch{a_{n+1}}{a_n}[/mm]
Hallo,
unter der Voraussetzung, daß [mm] (a_n) [/mm] monoton wachsend ist und alle Folgenglieder positiv,
ist [mm] b_n [/mm] positiv für alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
Solch eine Reihe konvergiert ja genau dann, wenn die Folge der Partialsummen beschränkt ist.
Diese Beschränktheit kannst Du hier zeigen.
Das gelingt Dir, wenn Du die gegebenen Eigenschaften von [mm] (a_n) [/mm] verwendest, also obere Schranke und monoton wachsend.
Gruß v. Angela
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