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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:55 Do 14.11.2013 | | Autor: | hamade9 |
| Aufgabe | Gebe sie an, ob die Aussage zutreffend oder falsch ist. Geben Sie ein Gegenbeispiel an, falls es sich um eine Falsche handelt.
1.Jede monoton wachsende Folge konvergiert gegen [mm] \inf [/mm] fuer n gegen [mm] \infty [/mm] .
2.Jede beschränkte Folge konvergiert gegen eine Zahl in [mm] \IR [/mm] für n gegen [mm] \infty [/mm] . |
Ich bin dazu gekommen, dass beide falsch sind, aber fallen euch vielleicht ein paar Gegenbeispiele ein?
Gruß Ibo
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Hallo Ibo,
> Gebe sie an, ob die Aussage zutreffend oder falsch ist.
> Geben Sie ein Gegenbeispiel an, falls es sich um eine
> Falsche handelt.
> 1.Jede monoton wachsende Folge konvergiert gegen [mm]\inf[/mm]
Was heißt das? Tippfehler? Meinst Du "infinity" (infty) oder Infimum?
> fuer n gegen [mm]\infty[/mm] .
> 2.Jede beschränkte Folge konvergiert gegen eine Zahl in
> [mm]\IR[/mm] für n gegen [mm]\infty[/mm] .
> Ich bin dazu gekommen, dass beide falsch sind,
Stimmt.
> aber fallen
> euch vielleicht ein paar Gegenbeispiele ein?
Na klar, die sind doch einfach zu konstruieren.
Zu 1) Nimm eine konvergente, aber monoton wachsende Folge.
Zu 2) Nimm eine Folge, die mehr als einen Häufungspunkt hat.
Komm, das kannst Du selbst...
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Do 14.11.2013 | | Autor: | hamade9 |
Ich habs versucht... ich hab an eine folge gedacht bei der das erste n glied den wert 1 hat und sich dann umm doppelt... damjt meine ich n gleich 2 ist 1,5 und n gleich 3 1,75.....
Ich kann die aber irgendwie nicht konstruieren :/
Grüße ibo
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Hallo nochmal,
> Ich habs versucht... ich hab an eine folge gedacht bei der
> das erste n glied den wert 1 hat und sich dann umm
> doppelt... damjt meine ich n gleich 2 ist 1,5 und n gleich
> 3 1,75.....
> Ich kann die aber irgendwie nicht konstruieren :/
Na, konstruiert hast Du sie damit ja schon, nur noch nicht mathematisch formuliert.
Entweder rekursiv: [mm] a_1=1, a_{n+1}=a_n+\bruch{1}{2^{n-1}}
[/mm]
...oder gleich so: [mm] a_n=2-\bruch{1}{2^{n-1}}
[/mm]
Noch schöner, wenn nicht das Folgenglied Nr.1 die 1 ist, sondern alle einen nach links verschoben werden, also mit [mm] a_0=1 [/mm] und [mm] a_1=1,5 [/mm] etc.
Dann wäre das Bildungsgesetz: [mm] a_n=2-2^{-n}
[/mm]
So, das wäre also das Gegenbeispiel zu 1).
Da hätte aber auch [mm] a_n=5174-\bruch{1}{n} [/mm] gereicht... Oder vielleicht statt 5174 einfach eine 1. 
Und das andere Gegenbeispiel - hast Du da schon eine Idee?
Grüße
reverend
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