Folgen und Häufungspunkte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:58 So 05.12.2004 | | Autor: | Weppi |
Hi,
ich habe da eine AUfgaben die wie folgt lautet:
Geben Sie eine Folge [mm] (x_{n}) [/mm] an, so das gild:
Die Folge [mm] (x_{n}) [/mm] besitzt 1 als Häufungspunkt, aber nicht als Grenzwert.
Meine frage betrifft nun die Darstellung von Folgen im algemeinen!
Darf ich z.B.: [mm] x_{n}= \{( 1-n)^{n},1^{n} ,(1+n)^{n} \} [/mm] schreiben?
Oder müssen in dieser Aufgabe die Folge nicht durch ihre Teilfolgen definiert werden?
Die Teilfolge [mm] 1^{n} [/mm] ist eine kost. Folge. Ist 1 nun auch Häufungspunkt oder betrachtet man da nur die [mm] \varepsilon [/mm] -Umgebung von 1 ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielen Dank schonmal im voraus.
Weppi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:59 So 05.12.2004 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Weppi,
> Hi,
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> ich habe da eine AUfgaben die wie folgt lautet:
>
> Geben Sie eine Folge [mm](x_{n})[/mm] an, so das gild:
>
> Die Folge [mm](x_{n})[/mm] besitzt 1 als Häufungspunkt, aber nicht
> als Grenzwert.
>
>
>
> Meine frage betrifft nun die Darstellung von Folgen im
> algemeinen!
>
> Darf ich z.B.: [mm]x_{n}= \{( 1-n)^{n},1^{n} ,(1+n)^{n} \}[/mm]
> schreiben?
Also mit einer solchen Schreibweise kann ich nichts anfangen.
>
> Oder müssen in dieser Aufgabe die Folge nicht durch ihre
> Teilfolgen definiert werden?
Das ist eine Möglichkeit. Du musst dann die gesuchte Folge mit Hilfe einer Fallunterscheidung definieren.
z.B.
[mm] x_n=\left\{\begin{matrix}
1, & \mbox{wenn }n\mbox{ gerade} \\
0, & \mbox{wenn }n\mbox{ ungerade}
\end{matrix}\right. [/mm]
Aus meiner Sicht eleganter ist aber eine Definition mit Hilfe der Potenzen von -1, die ja je nach Exponent den Wert 1 oder -1 haben.
Ein sehr einfaches Beispiel für deine gesuchte Folge wäre dann
[mm] x_n = 0,5 \cdot ( (-1)^{2n} + (-1)^{n}) [/mm]
Ich hoffe, ich habe mich nicht verrechnet. Aber vielleicht suchst du dir sowieso ein eigenes Beispiel.
> Die Teilfolge [mm]1^{n}[/mm] ist eine kost. Folge. Ist 1 nun auch
> Häufungspunkt oder betrachtet man da nur die [mm]\varepsilon[/mm]
> -Umgebung von 1 ?
1 ist Häufungspunkt, da in jeder [mm]\varepsilon[/mm] unendlich viele Glieder der Folge liegen.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Vielen Dank schonmal im voraus.
>
> Weppi
>
Gruß Sigrid
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:21 Mo 06.12.2004 | | Autor: | Weppi |
HI,
vielen Dank für die schnelle Antwort, aber ist dein beispiel nit so gewählt das die Grenzwerte 0 und 1 sind?
Ich habe mir auch eine neue Folge ausgedacht.
[mm] x_{n}=1+ (-\bruch{1}{n})^n
[/mm]
Für n -> [mm] \infty [/mm] geht der bruch gegen null und die folge somit gegen 1, was unendlich viele Folgeglieder in der [mm] \varepsilon [/mm] - Umgebung bewirkt, desweiteren sind die Grenzwerte durch n=1 und n=2 erschlagen und ungleich 1.
Falls ich schonwieder Opfer meiner Alsheimer binn oder einfach nur Begrifflichkeiten verwechsel bitte ich um Aufklärung.
Liebe Grüße
Weppi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:45 Mo 06.12.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Weppi!
> vielen Dank für die schnelle Antwort, aber ist dein
> beispiel nit so gewählt das die Grenzwerte 0 und 1 sind?
Eine Folge kann nicht zwei Grenzwerte haben, denn wenn ein Grenzwert existiert, ist er eindeutig.
Übrigens läßt sich Storchs Folge noch vereinfachen:
[mm] $x_n [/mm] = 0,5 [mm] \cdot [/mm] ( [mm] (-1)^{2n} [/mm] + [mm] (-1)^{n})=0,5*(1+(-1)^n)$
[/mm]
So wird deutlich, dass die Folge zwischen den beiden Zahlen 0 und 1 wechselt. Also liegen sowohl in jeder Umgebung von 0, als auch in jeder Umgebung von 1 unendlich viele Folgenglieder. Folglich sind 0 und 1 Häufungspunkte.
Damit ist eine Folge mit den gewünschten Eigenschaften gefunden: [mm] $x_n$ [/mm] hat 1 als Häufungspunkt, aber nicht als Grenzwert.
> Ich habe mir auch eine neue Folge ausgedacht.
>
> [mm]x_{n}=1+ (-\bruch{1}{n})^n[/mm]
>
> Für n -> [mm]\infty[/mm] geht der bruch gegen null und die folge
> somit gegen 1
Naja, so schnell sieht man das nicht. Der Bruch, der gegen Null geht, wird ja anschließend nicht potenziert.
Aber durch eine kleine Umformung sieht man es sofort: $1+ [mm] (-\bruch{1}{n})^n=1+(-1)^n*\bruch{1}{n^n}$
[/mm]
> , was unendlich viele Folgeglieder in der
> [mm]\varepsilon[/mm] - Umgebung bewirkt, desweiteren sind die
> Grenzwerte durch n=1 und n=2 erschlagen und ungleich 1.
Was bedeutet dieser letzte Satz?
> Falls ich schonwieder Opfer meiner Alsheimer binn oder
> einfach nur Begrifflichkeiten verwechsel bitte ich um
> Aufklärung.
Deine Folge hat nun aber den Grenzwert 1: [mm] $\limes_{n\to\infty} [/mm] 1+ [mm] (-\bruch{1}{n})^n=1$ [/mm] und ist damit kein geeignetes Beispiel.
Fällt dir eine weitere ein?
Viele Grüße,
Marc
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