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| Aufgabe | a) Es sei [mm] (a_n) [/mm] eine konvergente Folge mit positivem Grenzwert a. Man verifiziere, dass fast alle Folgenglieder positiv sind.
b) Seien [mm] (a_n) [/mm] und [mm] (b_n) [/mm] konvergente Folgen mit [mm] a_n\le b_n [/mm] für alle [mm] n\in \IN. [/mm]
Zeige das gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n \le \limes_{n\rightarrow\infty}b_n [/mm] |
Gibt es für a) eine gesetzmäßigkeit wie man das zeigen kann? kann mir das vielleicht jemand erklären? auch b? ich kann es umgangssprachlich ausdrücken aber nicht mathematisch beweisen. da liegt mein problem.
mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:23 Do 12.11.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
a)
Was heißt es denn, dass a Grenzwert von [mm] a_n [/mm] ist?
Genau, dass unendlich viele Werte von [mm] a_n [/mm] "dicht" um a liegen (genauer: unendlich viele Folgenglieder in der Epsilonumgebung von a liegen). Damit liegen nur endlich viele Folgenglieder außerhalb und damit können auch nur endlich viele negativ sein (also sind fast alle [immerhin noch unendlich viele] Folgenglieder positiv), denn a ist ja größer als 0.
b)
Nimm mal an, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n>\limes_{n\rightarrow\infty}b_n [/mm] und bringe das zum Widerspruch dazu, dass [mm] a_n \le b_n [/mm] gilt.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:46 Do 12.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Zu a) Da a>0 ist , ist [mm] $\varepsilon:= [/mm] a/2$ ebenfalls positiv.
Wegen [mm] $a_n \to [/mm] a$ gilt
[mm] $a_n \in (a-\varepsilon, a+\varepsilon) [/mm] = [mm] (\bruch{1}{2}a, \bruch{3}{2}a)$ [/mm] für fast alle n.
Daher: [mm] $a_n [/mm] > a/2>0$ für fast alle n.
b) folgt aus a)
FRED
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also ich versteh den beweis zu a)noch nicht ganz
ist mir irgendwie noch unklar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:31 Do 12.11.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Roxas_Roxas!
Ist Dir das [mm] $\varepsilon$-Kriterium [/mm] der Folgenkonvergenz klar?
Hier hat Fred lediglich einen konkreten Wert mit [mm] $\varepsilon [/mm] \ := \ [mm] \bruch{a}{2}$ [/mm] gewählt.
Gruß
Loddar
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Hi fred,
ne , das versteh ich ja nicht
wieso [mm] \varepsilon [/mm] = a/2 ist
kannst du mir das irgendwie erklären?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:53 Fr 13.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
im GW Kriterium heist es "für jedes [mm] \epsilon" [/mm] also kann man sich auch eines aussuchen. fred hat a72 ausgesucht, erhätte auch a/3 oder sonst was aussuchen können, aber so ist es am bequemsten.
Gruss leduart
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ginge es auch so:
[mm] |a_{n}-a|< \varepsilon [/mm] und
[mm] |b_{n}-b|< \varepsilon
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] (mit Hilfe der Dreiecksungleichung: |x+y|>=|x|+|y|
[mm] a_{n}< \varepsilon [/mm] +a
und
[mm] b_{n}< \varepsilon [/mm] +b
Weil [mm] a_{n}<=b_{n} [/mm] gilt:
[mm] a_{n}< \varepsilon [/mm] +b
[mm] a_{n} [/mm] ist somit immer kleiner als der grenzwert von bn und somit gilt das, was zu zeigen war
geht das so?
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Hallo,
> [mm]a_{n}[/mm] ist somit immer kleiner als der grenzwert von bn
für die n die größer sind als ein gewisser Schwellenwert N.
Das kann ich begreifen.
> und
> somit gilt das, was zu zeigen war
Das allerdings ist bisher eine bloße Behauptung - welche natürlich stimmt.
Aber es drängt sich die Frage auf: warum?
Du mußt es begründen mit Sätzen und Definitionen aus der Vorlesung.
Ein vages Gefühl reicht nicht - wenn es reichen würde, hätte man mit dem Beweis gar nicht beginnen müssen.
Gruß v. Angela
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