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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:09 Mi 11.11.2009 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | Sei [mm] a_{(n) n \in \IN } [/mm] eine reelle Zahlenfolge mit [mm] a_{0}>0, a_{3}=- \bruch{2}{9} [/mm] und [mm] a_{5}=-\bruch{2}{81}. [/mm] Die unendliche Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_{n} [/mm] sei geometrisch, d.h., es gibt c,x [mm] \in \IR [/mm] so dass [mm] a_{n}=cx^n [/mm] für alle [mm] n\in \IN. [/mm]
Berechnen Sie den Grenzwert [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_{n} [/mm] |
Hallo;
ich habe die Aufgabe schon gelöst nur würde es mich freuen, wenn jemand sich das mal anschauen kann und mir sagen kann ob meine Lösung + Lösungsweg richtig sind
Wir haben gegeben:
[mm] a_{n}=cx^n
[/mm]
[mm] cx^3=-\bruch{2}{9}
[/mm]
[mm] cx^5=-\bruch{2}{81}
[/mm]
da [mm] a_{n}=cx^n [/mm] ist formen wir [mm] cx^3=-\bruch{2}{9} [/mm] und [mm] cx^5=-\bruch{2}{81} [/mm] nach c um
[mm] c=-\bruch{2}{9x^3}
[/mm]
[mm] c=-\bruch{2}{81x^5}
[/mm]
jetzt setzen wir c=c um nach x aufzulösen
[mm] -\bruch{2}{9x^3}=-\bruch{2}{81x^5} [/mm] | [mm] *x^5
[/mm]
[mm] -\bruch{2}{9}x^2=-\bruch{2}{81}
[/mm]
[mm] x_{1\2}=\pm\bruch{1}{3}
[/mm]
wir betrachten nur [mm] x=-\bruch{1}{3} [/mm] da c sonst kleiner o ist aber c >0
Setzen [mm] x=-\bruch{1}{3} [/mm] ein
[mm] c=-2/(9*1/3^3)=6
[/mm]
das selbe kommt auch beim anderen raus
hieraus folgt [mm] a_{n}=6*(-\bruch{1}{3}) [/mm] dies setzen wir in die unendlcihe Reihe ein um unser Grenzwert auszurechnen
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_{n}=\summe_{n=0}^{\infty}6*(-1/3)^n=6\summe_{n=0}^{\infty}*(-1/3)^n=6*\bruch {1}{1+\bruch{1}{3}}=6\bruch{3}{4}=4,5
[/mm]
Ich bedanke mich im voraus
Lg Melisa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:41 Mi 11.11.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Wir haben gegeben:
>
> [mm]a_{n}=cx^n[/mm]
>
> [mm]cx^3=-\bruch{2}{9}[/mm]
>
> [mm]cx^5=-\bruch{2}{81}[/mm]
>
> da [mm]a_{n}=cx^n[/mm] ist formen wir [mm]cx^3=-\bruch{2}{9}[/mm] und
> [mm]cx^5=-\bruch{2}{81}[/mm] nach c um
> [mm]c=-\bruch{2}{9x^3}[/mm]
>
> [mm]c=-\bruch{2}{81x^5}[/mm]
>
> jetzt setzen wir c=c um nach x aufzulösen
>
> [mm]-\bruch{2}{9x^3}=-\bruch{2}{81x^5}[/mm] | [mm]*x^5[/mm]
>
> [mm]-\bruch{2}{9}x^2=-\bruch{2}{81}[/mm]
>
> [mm]x_{1\2}=\pm\bruch{1}{3}[/mm]
>
> wir betrachten nur [mm]x=-\bruch{1}{3}[/mm] da c sonst kleiner o ist
> aber c >0
Stimmt, c>0 ergibt sich ja aus [mm] c*x^0=c*1=a_0>0.
[/mm]
> Setzen [mm]x=-\bruch{1}{3}[/mm] ein
>
> [mm]c=-2/(9*1/3^3)=6[/mm]
>
> das selbe kommt auch beim anderen raus
>
> hieraus folgt [mm]a_{n}=6*(-\bruch{1}{3})[/mm] dies setzen wir in
> die unendlcihe Reihe ein um unser Grenzwert auszurechnen
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_{n}=\summe_{n=0}^{\infty}6*(-1/3)^n=6\summe_{n=0}^{\infty}*(-1/3)^n=6*\bruch {1}{1+\bruch{1}{3}}=6\bruch{3}{4}=4,5[/mm]
Das sieht alles gut aus.
Gruß barsch
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