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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:47 Do 26.02.2009 | | Autor: | Palonina |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Folgen
i) [mm] $a_n [/mm] = [mm] \frac{n}{n+\sqrt{n}}$ [/mm] ii) [mm] $\sum_{k=0}^n \frac{1}{2^k}$ [/mm] iii) [mm] $c_n= [/mm] n sin [mm] \frac{1}{n}$
[/mm]
Grenzwerte besitzen und bestimmen Sie diese.
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Mit dem Bestimmen der Grenzwerte habe ich (hoffentlich) nicht so die Probleme. Bei Aufgabe i) habe ich n ausgeklammert und gekürzt und dann als Grenzwert 1 erhalten.
ii) ist die geometrische Reihe und ich darf ja wohl verwenden, dass [mm] $\sum_{k=0}^n x^n [/mm] = [mm] \frac{1-x^{n+1}}{1-x}$, [/mm] für mich also [mm] $\sum_{k=0}^n (\frac{1}{2})^k [/mm] = [mm] \frac{1-(\frac{1}{2})^{n+1}}{\frac{1}{2}}= [/mm] 2 - [mm] 0,5^n$. [/mm] Und für $n [mm] \to \infty$ [/mm] erhalte ich als Grenzwert 2.
Kann ich bei Folgen auch Bernoulli-L'Hospital verwenden? Damit wollte ich den Grenwert von iii) berechnen. Wenn ich die Folge umschreibe zu [mm] $\frac [/mm] {sin [mm] \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}$, [/mm] erhalte ich einen unbestimmten Ausdruck der Form 0:0 und kann Bernoulli-L'Hospital anwenden.
Was jetzt noch fehlt ist der Beweis, dass die 3 Folgen konvergieren. Wie mache ich das am besten?
Gruß,
Palonina
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Hallo Palonina!
Das soweit soweit alles gut aus.
Ja, auch bei Folgen kannst Du de l'Hopsital heranziehen.
Da Du mit korrekten Mitteln jeweils den Grenzwert ermittelt hast, folgt daraus doch unmittelbar die Konvergenz.
Du kannst aber auch gerne mit diesen Grenzwerte nun das [mm] $\varepsilon$-Kriterium [/mm] anwenden.
Gruß vom
Roadrunner
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