Folgen und Beschränktheit < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei X ein normierter Raum und sei [mm] (x_{n})_{n\in\IN}\subset [/mm] X eine gegen [mm] x\in [/mm] X konvergierende Folge. Zeigen Sie, dass dann [mm] (x_{n})_{n\in\IN} [/mm] beschränkt ist. |
Hallo zusammen,
Also die Definition von Beschränktheit ist doch: Es gibt eine Schranke C>0, sodass [mm] ||x_{n}||\le [/mm] C [mm] \forall n\in \IN.
[/mm]
Aber ich weiß doch schon, dass die Folge gegen ein x [mm] \in [/mm] X konvergiert. Die Definition der Konverenz ist ja: Eine Folge [mm] (x_{n})_{n\in\IN} [/mm] heißt konvergent mit Grenzwert x' , wenn [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}||x_{n}-x’||=0.
[/mm]
Wenn ich doch schon weiß, dass die Folge gegen ein x konvergiert, wieso kann ich dann nicht einfach sagen, dass [mm] ||x_{n}||\le [/mm] x, weil wenn der „Abstand" eines Folgenglieds zu dem Grenzwert x’ für n gegen unendlich gegen Null geht, müssen doch alle Folgenglieder immer kleiner als der Grenzwert sein. D.h. ich kann doch als Grenze einfach x=C nehmen.
Wahrscheinlich mache ich es mir grade ein wenig zu einfach, aber ich wüsste grade nicht, wieso ich das nicht so machen könnte?! Falls es völliger Quatsch ist, würde ich euch bitten, mir auf die Sprünge zu helfen.
Gruß,
Theoretix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:27 Sa 08.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei X ein normierter Raum und sei [mm](x_{n})_{n\in\IN}\subset[/mm]
> X eine gegen [mm]x\in[/mm] X konvergierende Folge. Zeigen Sie, dass
> dann [mm](x_{n})_{n\in\IN}[/mm] beschränkt ist.
> Hallo zusammen,
>
> Also die Definition von Beschränktheit ist doch: Es gibt
> eine Schranke C>0, sodass [mm]||x_{n}||\le[/mm] C [mm]\forall n\in \IN.[/mm]
>
> Aber ich weiß doch schon, dass die Folge gegen ein x [mm]\in[/mm] X
> konvergiert. Die Definition der Konverenz ist ja: Eine
> Folge [mm](x_{n})_{n\in\IN}[/mm] heißt konvergent mit Grenzwert x'
> , wenn [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}||x_{n}-x’||=0.[/mm]
>
> Wenn ich doch schon weiß, dass die Folge gegen ein x
> konvergiert, wieso kann ich dann nicht einfach sagen, dass
> [mm]||x_{n}||\le[/mm] x,
Das ist Quatsch ! Ist z.B. der normierte Raum = [mm] \IR [/mm] und [mm] (x_n)=(1/n), [/mm] so ist x=0. Siehst Du dass obiges Unsinn ist ?
> weil wenn der „Abstand" eines
> Folgenglieds zu dem Grenzwert x’ für n gegen unendlich
> gegen Null geht, müssen doch alle Folgenglieder immer
> kleiner als der Grenzwert sein. D.h. ich kann doch als
> Grenze einfach x=C nehmen.
>
> Wahrscheinlich mache ich es mir grade ein wenig zu einfach,
> aber ich wüsste grade nicht, wieso ich das nicht so machen
> könnte?! Falls es völliger Quatsch ist, würde ich euch
> bitten, mir auf die Sprünge zu helfen.
Im ersten Semester hast Du gelernt, dass eine reelle Folge, die konvergiert, beschränkt ist.
Der Beweis in normierten Räumen geht genauso, Du mußt nur Betragsstriche durch Normstriche ersetzen
FRED
>
> Gruß,
> Theoretix
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Danke für die schnelle Antwort!Dachte ich mir schon, dass da was nicht stimmen kann=)
„Im ersten Semester hast Du gelernt, dass eine reelle Folge, die konvergiert, beschränkt ist. „
Ich bin noch im ersten Semester und den Beweis,dass eine reelle Folge, die konvergiert, beschränkt ist, habe ich noch nicht geführt, deshalb auch die Probleme mit diesem Beweis.
Wie muss ich da ansetzen?
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:42 Sa 08.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Danke für die schnelle Antwort!Dachte ich mir schon, dass
> da was nicht stimmen kann=)
>
> „Im ersten Semester hast Du gelernt, dass eine reelle
> Folge, die konvergiert, beschränkt ist. „
>
> Ich bin noch im ersten Semester
..............Donnerwetter, und schon in normierten Räumen ....
> und den Beweis,dass eine
> reelle Folge, die konvergiert, beschränkt ist, habe ich
> noch nicht geführt, deshalb auch die Probleme mit diesem
> Beweis.
>
> Wie muss ich da ansetzen?
Den Beweis findest Du in jedem Analysisbuch
FRED
>
> Gruß
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Also habe jetzt folgendes gefunden:
Wenn [mm] (a_{n})_{n\in \IN} [/mm] eine konvergente Folge, dann gilt: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(a_{n})=a
[/mm]
dann hat man [mm] ||(a_{n})-a+a|| [/mm] und mit der Dreicksungleichung folgt daraus:
[mm] ||(a_{n})-a+a||\le ||(a_{n})-a||+||a||, [/mm] wobei der erste Summand beschränkt ist, weil er eine Nullfolge ist und der Zweite ja sowieso.
Das macht Sinn soweit, oder? Damit ist doch der Beweis vollendet?
Ist meine Schranke C dann [mm] =||(a_{n})-a||+||a|| [/mm] für den allgemeinen Fall?
Dann wäre noch meine Frage, wie man da drauf kommen soll, a zu addieren und wieder zu subtrahieren? habe inzwischen gemerkt, dass es ein beliebter Trick der mathematiker ist, eine „null“ zu addieren-ist das einfach Übung?
Gruß
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Hallo Theoretix,
> Also habe jetzt folgendes gefunden:
>
> Wenn [mm](a_{n})_{n\in \IN}[/mm] eine konvergente Folge, dann gilt:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(a_{n})=a[/mm]
>
> dann hat man [mm]||(a_{n})-a+a||[/mm] und mit der Dreicksungleichung
> folgt daraus:
> [mm]||(a_{n})-a+a||\le ||(a_{n})-a||+||a||,[/mm] wobei der erste
> Summand beschränkt ist, weil er eine Nullfolge ist und der
> Zweite ja sowieso.
Hmmm, das stimmt schon, aber ...
>
> Das macht Sinn soweit, oder? Damit ist doch der Beweis
> vollendet?
Naja, etwas schwammig ist das schon...
> Ist meine Schranke C dann [mm]=||(a_{n})-a||+||a||[/mm] für den
> allgemeinen Fall?
Naja, du weißt, dass [mm]a_n[/mm] gegen [mm]a[/mm] konvergiert, also ex. zu bel. [mm]\varepsilon>0[/mm], insbesondere etwa zu [mm]\varepsilon=1[/mm] ein [mm]N(\varepsilon)[/mm], so dass für [mm]n\ge N(\varepsilon)[/mm] gilt: [mm]||a_n-a||<1[/mm]
Die Folge [mm]a_n[/mm] ist also ab [mm]N(\varepsilon)[/mm] durch [mm]||a||+1=:C\in\IR^+[/mm] beschränkt.
Bliebe zu zeigen, dass sie auch für [mm]n=1,2,....,N(\varepsilon)[/mm] beschränkt ist, aber das ist trivial!
Wieso?
Vervollständige das mal ...
>
> Dann wäre noch meine Frage, wie man da drauf kommen soll,
> a zu addieren und wieder zu subtrahieren? habe inzwischen
> gemerkt, dass es ein beliebter Trick der mathematiker ist,
> eine „null“ zu addieren-ist das einfach Übung?
Ja, das ist ein Standardtrick, der Trick schlechthin in der Analysis.
"Eine "nahrhafte" Null addieren" oder "addieren, subtrahieren, Dreiecksunglichung" - umgangssprachlich 
>
> Gruß
>
Zurück
schachuzipus
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> Naja, du weißt, dass [mm]a_n[/mm] gegen [mm]a[/mm] konvergiert, also ex. zu
> bel. [mm]\varepsilon>0[/mm], insbesondere etwa zu [mm]\varepsilon=1[/mm] ein
> [mm]N(\varepsilon)[/mm], so dass für [mm]n\ge N(\varepsilon)[/mm] gilt:
> [mm]||a_n-a||<1[/mm]
>
> Die Folge [mm]a_n[/mm] ist also ab [mm]N(\varepsilon)[/mm] durch
> [mm]||a||+1=:C\in\IR^+[/mm] beschränkt.
Das versteh’ ich nicht so ganz...Genau, ich weiß, dass meine Folge gegen a konvergiert. Und was genau ist das [mm] \varepsilon? [/mm] Wir haben es eben im Zusammenhang mit Cauchy Folgen kennen gelernt, dass eben für 2 beliebige folgenglieder ab einem folgenglied [mm] N_{0}(\varepsilon) [/mm] gilt: [mm] ||a_{n}-a_{m}||<\varepsilon.
[/mm]
Verstehe nicht ganz, was in meinem Ansatz noch genau fehlt, um ihn zu vervollständigen/präzisieren.
Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:30 Mo 10.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:00 Mo 10.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Also habe jetzt folgendes gefunden:
>
> Wenn [mm](a_{n})_{n\in \IN}[/mm] eine konvergente Folge, dann gilt:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(a_{n})=a[/mm]
>
> dann hat man [mm]||(a_{n})-a+a||[/mm] und mit der Dreicksungleichung
> folgt daraus:
> [mm]||(a_{n})-a+a||\le ||(a_{n})-a||+||a||,[/mm] wobei der erste
> Summand beschränkt ist, weil er eine Nullfolge ist und der
> Zweite ja sowieso.
diesen Beweis kann man nur dann akzeptieren, wenn Du begründen oder nachweisen kannst, dass Nullfolgen (in [mm] $\IR$) [/mm] stets beschränkt sein müssen.
Gruß,
Marcel
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Hallo ich habe mir jetzt folgendes überlegt, um zu zeigen, dass konvergente Folgen beschränkt sind:
Wenn [mm] (a_{n})_{n \in \IN} [/mm] eine konvergente Folge mit [mm] a:=\limes_{n\rightarrow\infty}(a_{n})_{n \in \IN}, [/mm] dann gilt:
[mm] \forall\varepsilon>0 \exists N_{0}(\varepsilon) [/mm] : [mm] \forall n\ge N_{0}(\varepsilon) [/mm] : [mm] ||(a_{n})_{n \in \IN}-a||<\varepsilon
[/mm]
Ich möchte für die Beschränktheit letztlich zeigen, dass:
(Eine Menge M [mm] \subset [/mm] U heißt beschränkt, wenn:)
[mm] \exists [/mm] C [mm] \in\IR [/mm] : [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M : [mm] ||x||_{U}\le [/mm] C
Ich wähle jetzt mein [mm] \varepsilon [/mm] =1 und erhalte:
[mm] \exists N_{0}(1): \forall n\ge N_{0}(1) [/mm] : [mm] ||(a_{n})_{n \in \IN}-a||<1
[/mm]
Weiter gilt, mit der „umgekehrten“ Dreiecksungleichung (für Minus):
[mm] ||(a_{n})_{n \in \IN}-a||\ge ||(a_{n})_{n \in \IN}||-||a||<1
[/mm]
Nach Umstellen erhält man:
[mm] ||(a_{n})_{n \in \IN}||<||a||+1 [/mm] für alle [mm] n\ge [/mm] N(1)
...Jetzt müsste ich doch, falls das soweit korrekt ist, schon so gut wie am Ende sein? Wie kann ich mir meine Konstante C jetzt definieren, um den Beweis abzuschließen?
Wäre über eine kurze Hilfe dankbar!
Viele Grüße,
Theoretix
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Huhu,
> Weiter gilt, mit der „umgekehrten“ Dreiecksungleichung
> (für Minus):
>
> [mm]||(a_{n})_{n \in \IN}-a||\ge ||(a_{n})_{n \in \IN}||-||a||<1[/mm]
da guckste nochmal drauf und überlegst dir, was falsch ist.
> Nach Umstellen erhält man:
>
> [mm]||(a_{n})_{n \in \IN}||<||a||+1[/mm] für alle [mm]n\ge[/mm] N(1)
Na das sieht schonmal schick aus.
> ...Jetzt müsste ich doch, falls das soweit korrekt ist,
> schon so gut wie am Ende sein? Wie kann ich mir meine
> Konstante C jetzt definieren, um den Beweis
> abzuschließen?
Das ist die große Frage!
Du hast ja nun schon für [mm] $n\ge [/mm] N(1)$ eine beschränkende Konstante gefunden.
Welche n's können es dir denn dann noch kaputt machen?
Wieviele sind das denn?
MFG,
Gono.
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> > Weiter gilt, mit der „umgekehrten“ Dreiecksungleichung
> > (für Minus):
> >
> > [mm]||(a_{n})_{n \in \IN}-a||\ge ||(a_{n})_{n \in \IN}||-||a||<1[/mm]
Hab ich die Ungleichung falschrum verwendet und richtig heißt sie:
[mm] ||(a_{n})_{n \in \IN}-a||\le ||(a_{n})_{n \in \IN}||-||a||<1 [/mm] ??
Wenn dem so wäre, würde doch nicht mehr gelten:
[mm] ||a_{n}||-||a||<1, [/mm] weil, wenn [mm] ||a_{n}||-||a|| [/mm] größer ist als [mm] ||(a_{n})_{n \in \IN}-a|| [/mm] kann ich doch nicht mehr behaupten, dass es immer noch kleiner 1 ist, oder?
> > Nach Umstellen erhält man:
> >
> > [mm]||(a_{n})_{n \in \IN}||<||a||+1[/mm] für alle [mm]n\ge[/mm] N(1)
>
> Na das sieht schonmal schick aus.
> Du hast ja nun schon für [mm]n\ge N(1)[/mm] eine beschränkende
> Konstante gefunden.
> Welche n's können es dir denn dann noch kaputt machen?
> Wieviele sind das denn?
Genau, was ich gefunden habe gilt ja nur für [mm] n\ge [/mm] N(1), also könnten mit n<N(1) das ganze noch kaputt machen, oder? Dann muss ich doch irgendwie zeigen können, dass sie das aber nicht machen?!=)
Wie mache ich das?
> MFG,
> Gono.
Gruß zurück
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Huhu,
> Hab ich die Ungleichung falschrum verwendet
Deine Folgerung ist falsch.
Du hast eine Ungleichung hingeschrieben der Form $a > b < c$
Daraus kannst du gar keinen Zusammenhang schließen
Aber die Ungleichung danach ist ja das wichtige.
> Genau, was ich gefunden habe gilt ja nur für [mm]n\ge[/mm] N(1),
> also könnten mit n<N(1) das ganze noch kaputt machen,
> oder?
Genau!
> Dann muss ich doch irgendwie zeigen können, dass sie das aber nicht machen?!=)
Och, das tun sie im Allgemeinen aber sogar.
Es stört dich nur nicht.
Du hattest eine Frage noch nicht beantwortet, nämlich:
"Wieviele n's sind denn kleiner als N(1)" ?
Fangen wir dochmal an:
Ich sage nun [mm] $||a_1|| [/mm] > C$. Was machst du dann mit deinem C einfach?
Und warum kannst du das machen und bringt dich nicht in Schwulitäten?
MFG,
Gono.
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> Du hattest eine Frage noch nicht beantwortet, nämlich:
>
> "Wieviele n's sind denn kleiner als N(1)" ?
>
> Fangen wir dochmal an:
>
> Ich sage nun [mm]||a_1|| > C[/mm]. Was machst du dann mit deinem C
> einfach?
>
> Und warum kannst du das machen und bringt dich nicht in
> Schwulitäten?
>
Also ich würde sagen es gibt folgende n, die kleiner als N(1) sind:
[mm] a_{1} [/mm] bis [mm] a_{N(1)-1}, [/mm] oder?
Wenn irgendein Folgenglied in der Norm größer als mein C ist, wähle ich das C einfach so groß wie das größte Folgenglied bezüglich seiner Norm und dafür kommen nur Folgenglieder im Bereich [mm] a_{1} [/mm] bis [mm] a_{N(1)-1} [/mm] in Frage?
D.h. ich wähle als Konstante C einfach die Maximumsnorm aus [mm] a_{1} [/mm] bis [mm] a_{N(1)-1}, [/mm] sodass C+1 immer größer ist...Stimmt das soweit? Wenn ja, wie schreibe ich das mathematisch korrekt auf?
> MFG,
> Gono.
Gruß,
Theoretix
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:10 Mo 10.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Du hattest eine Frage noch nicht beantwortet, nämlich:
> >
> > "Wieviele n's sind denn kleiner als N(1)" ?
> >
> > Fangen wir dochmal an:
> >
> > Ich sage nun [mm]||a_1|| > C[/mm]. Was machst du dann mit deinem C
> > einfach?
> >
> > Und warum kannst du das machen und bringt dich nicht in
> > Schwulitäten?
> >
> Also ich würde sagen es gibt folgende n, die kleiner als
> N(1) sind:
> [mm]a_{1}[/mm] bis [mm]a_{N(1)-1},[/mm] oder?
> Wenn irgendein Folgenglied in der Norm größer als mein C
> ist, wähle ich das C einfach so groß wie das größte
> Folgenglied bezüglich seiner Norm und dafür kommen nur
> Folgenglieder im Bereich [mm]a_{1}[/mm] bis [mm]a_{N(1)-1}[/mm] in Frage?
> D.h. ich wähle als Konstante C einfach die Maximumsnorm
> aus [mm]a_{1}[/mm] bis [mm]a_{N(1)-1},[/mm] sodass C+1 immer größer
> ist...Stimmt das soweit? Wenn ja, wie schreibe ich das
> mathematisch korrekt auf?
>
>
> > MFG,
> > Gono.
>
> Gruß,
> Theoretix
ich hab' nicht alles verfolgt. Aber hier mal die wesentlichen Punkte (bis auf ein paar "Verwirrtheiten" hast Du das ja alles schonmal erwähnt und mittlerweile auch die Korrekturen hoffentlich verstanden?!):
[mm] $$a_n \to [/mm] a [mm] \gdw \|a_n [/mm] -a [mm] \| \to 0\,,$$
[/mm]
insbesondere gibt es zu [mm] $\epsilon=1 [/mm] > 0$ ein [mm] $N=N(\epsilon)=N(1)$ [/mm] so, dass [mm] $\|a_n-a\| \le [/mm] 1$ für alle $n [mm] \ge [/mm] N=N(1)$ und daher gilt:
[mm] $$(\star)\;\;\;\|a_n\| \le \|a_n-a\|+\|a\| \le 1+\|a\| \text{ fuer alle }n \ge N(1)=N\,.$$
[/mm]
Die Menge [mm] $\{\|a_1\|\,,\|a_2\|,\ldots,\|a_{N-1}\|,\,1+\|a\|\}$ [/mm] enthält nur endlich viel Elemente und daher besitzt sie ein Maximum. Ich behaupte nun, dass dieses Maximum [mm] $\in [1,\infty[$ [/mm] ist und eine Schranke für [mm] $(a_n)_n$ [/mm] (bzw. obere Schranke für [mm] $(\|a_n\|)_n$) [/mm] ist. Begründe das mal (es ist wirklich in einer Zeile zu begründen, wenn man nochmal kurz einen Blick auf [mm] $(\star)$ [/mm] wirft).
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:18 Mo 10.01.2011 | | Autor: | Theoretix |
Ok, danke dir für die Antwort!
Gruß und schönen Abend noch.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:40 Sa 08.01.2011 | | Autor: | Pokojovix |
Konvergente Folgen sind doch Cauchy-Folgen und Cauchy-Folgen sind beschränkt. Reicht das nicht schon?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:41 Sa 08.01.2011 | | Autor: | Theoretix |
Schon, aber wäre trotzdem noch interessant zu wissen, wie der Beweis vollständig aussieht.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:53 Mo 10.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Schon, aber wäre trotzdem noch interessant zu wissen, wie
> der Beweis vollständig aussieht.
so wie halt der Beweis der vorher genannten Aussage:
[mm] $(x_n)_n$ [/mm] konvergiert gegen [mm] $x\,$ [/mm] bzgl. [mm] $\|\cdot\|$
[/mm]
[mm] $$\Rightarrow$$
[/mm]
[mm] $(x_n)_n$ [/mm] ist Cauchy. Für [mm] $\epsilon=1$ [/mm] gibt es daher ein $N$ so, dass für alle $n,m [mm] \ge [/mm] N$ dann
[mm] $$\|x_n-x_m\| \le 1\,,$$
[/mm]
und es folgt für jedes $n [mm] \ge [/mm] N$ mit einem $M [mm] \ge [/mm] N$ dann
[mm] $$\|x_n\| \le\|x_n-x_M\|+\|x_M\|=1+\|x_M\|\,.$$
[/mm]
Somit gilt
[mm] $$\|x_n\| \le \text{max}\{\|x_1\|,\;\|x_2\|,\;\ldots,\|x_{M-1}\|,\;1+\|x_M\|\}\,,$$
[/mm]
wobei die letzte Menge als endliche Menge von Zahlen aus [mm] $[0,\infty)$ [/mm] auch ein Maximum hat, welches insbesondere in [mm] $[1,\infty)$ [/mm] liegt (weil das Maximum sicher [mm] $\ge 1+\|x_M\|$ [/mm] sein wird).
P.S.:
Man kann auch, sogar etwas schärfer, wegen obiger Überlegung
[mm] $$\|x_n\| \le \text{max}\{\|x_1\|,\;\|x_2\|,\;\ldots,\|x_{N-1}\|,\;1+\|x_M\|\}$$
[/mm]
abschätzen. Denn oben steht ja: [mm] $\|x_n\| \le 1+\|x_M\|$ [/mm] für alle $n [mm] \ge N\,.$ [/mm] Insbesondere ist auch die Wahl [mm] $M=N\,$ [/mm] möglich (in dieser Variante steht der Beweis meist in jedem Lehrbuch).
Gruß,
Marcel
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