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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:50 Sa 20.06.2009 | | Autor: | Ultio |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Normen (Einsnorm) und (Unendlichnorm) bzw. (Supremumsnorm) auf Cc [mm] (\IR^{n} [/mm] , [mm] \IR) [/mm] nicht vergleichbar sind, indem Sie eine Folge [mm] f_{k} \in [/mm] Cc [mm] (\IR^{n} [/mm] , [mm] \IR) [/mm] angeben, die bezüglich der Einsnorm konvergiert aber nicht bezüglich der Unendlichnorm, und umgekehrt. |
Hallo, kann mir mal jemand bei dieser Aufgabe bitte helfen. Hab das jetzt mit
[mm] f(k)=\begin{cases} (x^{k}), & { x \in (0,1)} \\ 1, & {x \in (1,2)} \\ ((3-x)^{k}), & {x \in (2,3)} \\ 0, & {sonst}\end{cases}
[/mm]
Ausprobiert, komme aber irgendwie zu keinem Ergebnis bisauf, dass diese bezüglich der eins-Norm konvergiert.
Vielen Dank!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:14 Sa 20.06.2009 | | Autor: | pelzig |
Was ist [mm] $Cc(\IR^n,\IR)$? [/mm] Stetig Abbildungen von [mm] \IR^n [/mm] nach [mm] \IR [/mm] mit komapktem Träger? Was ist die Eins Norm auf diesem Raum?
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:47 Sa 20.06.2009 | | Autor: | Ultio |
Die Einsnorm ist das Integral des Betrages der Funktion und die Supremumsnorm das Supremum der Funktion...
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:04 Sa 20.06.2009 | | Autor: | pelzig |
Für n=1 betrachte doch beispielsweise [mm] $f_k:\IR\to\IR$ [/mm] mit [mm] $$f_k(x)=\begin{cases}(1-|x|)^k&\text{falls }|x|\le 1\\0&\text{sonst}\end{cases}$$ [/mm] Dann konvergiert die Folge [mm] $(f_k)\subset C_c(\IR,\IR)$ [/mm] bezüglich der [mm] $L^1$-Norm [/mm] gegen die konstante Nullfunktion, aber nicht bezüglich der Supremumsnorm, denn [mm] $f_k(0)=1$ [/mm] für alle [mm] $k\in\IN$.
[/mm]
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:19 So 21.06.2009 | | Autor: | Ultio |
Dankeschön,
echt nett.
Gruß
Ultio
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:00 So 21.06.2009 | | Autor: | pelzig |
Eine Folge in [mm] $C_c(\IR,\IR)$, [/mm] die gleichmäßig gegen 0 konvergiert, aber nicht bzgl. der [tex]$L^1$[/tex]-Norm: [mm] $$f_k(x):=\begin{cases}\frac{k-|x|}{k^2}&\text{falls }x\in[-k,k]\\0&\text{sonst}\end{cases}$$ [/mm] Es ist [mm] $\|f_k\|_\infty=1/k$ [/mm] und [mm]\int_{\IR}f_k(x)\ dx=2[/mm].
Gruß, Robert
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